MATLAB6.0数学手册 格式 x = lsqnonneg(C,d) %返回在x≥0的条件下使得||C?x?d||最小的向量x，其中C和d必须为实矩阵或向量。
x = lsqnonneg(C,d,x0) % x0为初始点，x0≥0
x = lsqnonneg(C,d,x0,options) %options为指定的优化参数，参见options函数。 [x,resnorm] = lsqnonneg(?) %resnorm表示norm(C*x-d).^2的残差 [x,resnorm,residual] = lsqnonneg(?) %residual表示C*x-d的残差 例4- 70
>> A =[0.0372 0.2869;0.6861 0.7071;0.6233 0.6245;0.6344 0.6170]； >> b=[0.8587 0.1781 0.0747 0.8405]'； >> [x,resnorm,residual] = lsqnonneg(A,b) x =
0 0.6929 resnorm = 0.8315 residual = 0.6599 -0.3119 -0.3580 0.4130
4.7.3 对数似然函数
命令 负?分布的对数似然函数 函数 Betalike
格式 logL=betalike(params,data) %返回负?分布的对数似然函数，params为向量[a,
b]，是?分布的参数，data为样本数据。
[logL,info]=betalike(params,data) %返回Fisher逆信息矩阵info。如果params 中
输入的参数是极大似然估计值，那么info的对角元素为相应参数的渐近方差。 说明 betalike是?分布最大似然估计的实用函数。似然函数假设数据样本中，所有的元素相互独立。因为betalike返回负?对数似然函数，用fmins函数最小化betalike与最大似然估计的功能是相同的。
例4-71 本例所取的数据是随机产生的?分布数据。
>>r = betarnd(3,3,100,1);
>>[logL,info] = betalike([2.1234,3.4567],r) logL =
-12.4340 info =
0.1185 0.1364 0.1364 0.2061
命令 负?分布的对数似然估计 函数 Gamlike
格式 logL=gamlike(params,data) %返回由给定样本数据data确定的?分布的参数为params（即[a，b]）的负对数似然函数值
[logL,info]=gamlike(params,data) %返回Fisher逆信息矩阵info。如果params
164 第4章 概率统计
中输入的参数是极大似然估计值，那么info的对角元素为相应参数的渐近方差。
说明 gamlike是?分布的最大似然估计函数。因为gamlike返回?对数似然函数值，故用fmins函数将gamlike最小化后，其结果与最大似然估计是相同的。 例4-72
>>r=gamrnd(2,3,100,1);
>>[logL,info]=gamlike([2.4212, 2.5320],r) logL =
275.4602 info =
0.0453 -0.0538 -0.0538 0.0867
命令 负正态分布的对数似然函数 函数 normlike
格式 logL=normlike(params,data) %返回由给定样本数据data确定的、负正态分布的、
参数为params(即[mu，sigma])的对数似然函数值。
[logL,info]=normlike(params,data) %返回Fisher逆信息矩阵info。如果params
中输入的参数是极大似然估计值，那么info的对角元素为相应参数的渐近方差。
命令 威布尔分布的对数似然函数 函数 Weiblike
格式 logL = weiblike(params,data) %返回由给定样本数据data确定的、威布尔分布
的、参数为params(即[a，b])的对数似然函数值。
[logL,info]=weiblike(params,data) %返回Fisher逆信息矩阵info。如果params中
输入的参数是极大似然估计值，那么info的对角元素为相应参数的渐近方差。
说明 威布尔分布的负对数似然函数定义为
?logL??log?f(a,b|xi)???logf(a,b|xi)
i?1i?1nn例4-73
>>r=weibrnd(0.4,0.98,100,1);
>>[logL,info]=weiblike([0.1342,0.9876],r) logL =
237.6682 info =
0.0004 -0.0002 -0.0002 0.0078
4.8 假设检验
4.8.1 ?2已知，单个正态总体的均值μ的假设检验（U检验法）
函数 ztest
格式 h = ztest(x,m,sigma) % x为正态总体的样本，m为均值μ0，sigma为标准差，
165 MATLAB6.0数学手册 显著性水平为0.05(默认值)
h = ztest(x,m,sigma,alpha) %显著性水平为alpha
[h,sig,ci,zval] = ztest(x,m,sigma,alpha,tail) %sig为观察值的概率，当sig为小概
率时则对原假设提出质疑，ci为真正均值μ的1-alpha置信区间，zval为统计量的值。
说明 若h=0，表示在显著性水平alpha下，不能拒绝原假设； 若h=1，表示在显著性水平alpha下，可以拒绝原假设。 原假设：H0:???0?m，
若tail=0，表示备择假设：H1:???0?m（默认，双边检验）； tail=1，表示备择假设：H1:???0?m（单边检验）；
tail=-1，表示备择假设：H1:???0?m（单边检验）。 例4-74 某车间用一台包装机包装葡萄糖，包得的袋装糖重是一个随机变量，它服从正态分布。当机器正常时，其均值为0.5公斤，标准差为0.015。某日开工后检验包装机是否正常，随机地抽取所包装的糖9袋，称得净重为（公斤）
0.497, 0.506, 0.518, 0.524, 0.498, 0.511, 0.52, 0.515, 0.512
问机器是否正常？
解：总体μ和σ已知，该问题是当?2为已知时，在水平??0.05下，根据样本值判断μ=0.5还是??0.5。为此提出假设：
原假设： H0:???0?0.5 备择假设：H1:??0.5
>> X=[0.497,0.506,0.518,0.524,0.498,0.511,0.52,0.515,0.512]; >> [h,sig,ci,zval]=ztest(X,0.5,0.015,0.05,0)
结果显示为
h = 1 sig =
0.0248 %样本观察值的概率 ci =
0.5014 0.5210 %置信区间，均值0.5在此区间之外 zval =
2.2444 %统计量的值
结果表明：h=1，说明在水平??0.05下，可拒绝原假设，即认为包装机工作不正常。
4.8.2 ?2未知，单个正态总体的均值μ的假设检验( t检验法)
函数 ttest
格式 h = ttest(x,m) % x为正态总体的样本，m为均值μ0，显著性水平为0.05
h = ttest(x,m,alpha) %alpha为给定显著性水平
[h,sig,ci] = ttest(x,m,alpha,tail) %sig为观察值的概率，当sig为小概率时则对原
假设提出质疑，ci为真正均值μ的1-alpha置信区间。
说明 若h=0，表示在显著性水平alpha下，不能拒绝原假设； 若h=1，表示在显著性水平alpha下，可以拒绝原假设。 原假设：H0:???0?m，
166 第4章 概率统计
若 tail=0，表示备择假设：H1:???0?m（默认，双边检验）； tail=1，表示备择假设：H1:???0?m（单边检验）； tail=-1，表示备择假设：H1:???0?m（单边检验）。
例4-75 某种电子元件的寿命X（以小时计）服从正态分布，?、σ2均未知。现测得16只元件的寿命如下
159 280 101 212 224 379 179 264 222 362 168 250 149 260 485 170
问是否有理由认为元件的平均寿命大于225（小时）？
解：未知?2，在水平??0.05下检验假设：H0：???0?225，H1：??225
>> X=[159 280 101 212 224 379 179 264 222 362 168 250 149 260 485 170]; >> [h,sig,ci]=ttest(X,225,0.05,1)
结果显示为：
h = 0 sig =
0.2570 ci =
198.2321 Inf %均值225在该置信区间内
结果表明：H=0表示在水平??0.05下应该接受原假设H0，即认为元件的平均寿命不大于225小时。
4.8.3 两个正态总体均值差的检验（t检验）
两个正态总体方差未知但等方差时，比较两正态总体样本均值的假设检验 函数 ttest2
格式 [h,sig,ci]=ttest2(X,Y) %X，Y为两个正态总体的样本，显著性水平为0.05 [h,sig,ci]=ttest2(X,Y,alpha) %alpha为显著性水平
[h,sig,ci]=ttest2(X,Y,alpha,tail) %sig为当原假设为真时得到观察值的概率，当
sig为小概率时则对原假设提出质疑，ci为真正均值μ的1-alpha置信区间。
说明 若h=0，表示在显著性水平alpha下，不能拒绝原假设； 若h=1，表示在显著性水平alpha下，可以拒绝原假设。
原假设：H0:?1??2， (?1为X为期望值，?2为Y的期望值)
若 tail=0，表示备择假设：H1:?1??2（默认，双边检验）； tail=1，表示备择假设：H1:?1??2（单边检验）； tail=-1，表示备择假设：H1:?1??2（单边检验）。
例4-76 在平炉上进行一项试验以确定改变操作方法的建议是否会增加钢的产率，试验是在同一只平炉上进行的。每炼一炉钢时除操作方法外，其他条件都尽可能做到相同。先用标准方法炼一炉，然后用建议的新方法炼一炉，以后交替进行，各炼10炉，其产率分别为
（1）标准方法：78.1 72.4 76.2 74.3 77.4 78.4 76.0 75.5 76.7 77.3 （2）新方法： 79.1 81.0 77.3 79.1 80.0 79.1 79.1 77.3 80.2 82.1
设这两个样本相互独立，且分别来自正态总体N(?1,?2)和N(?2,?2)，?1、?2、?2均未知。问建议的新操作方法能否提高产率？（取α=0.05）
167 MATLAB6.0数学手册 解：两个总体方差不变时，在水平??0.05下检验假设：H0：?1??2，H1：?1??2
>> X=[78.1 72.4 76.2 74.3 77.4 78.4 76.0 75.5 76.7 77.3]; >>Y=[79.1 81.0 77.3 79.1 80.0 79.1 79.1 77.3 80.2 82.1]; >> [h,sig,ci]=ttest2(X,Y,0.05,-1)
结果显示为：
h = 1 sig =
2.1759e-004 %说明两个总体均值相等的概率很小 ci =
-Inf -1.9083
结果表明：H=1表示在水平??0.05下，应该拒绝原假设，即认为建议的新操作方法提高了产率，因此，比原方法好。
4.8.4 两个总体一致性的检验——秩和检验
函数 ranksum
格式 p = ranksum(x,y,alpha) %x、y为两个总体的样本，可以不等长，alpha为显著
性水平
[p,h] = ranksum(x,y,alpha) % h为检验结果，h=0表示X与Y的总体差别不显
著h=1表示X与Y的总体差别显著
[p,h,stats] = ranksum(x,y,alpha) %stats中包括：ranksum为秩和统计量的值以及
zval为过去计算p的正态统计量的值
说明 P为两个总体样本X和Y为一致的显著性概率，若P接近于0，则不一致较明显。 例4-77 某商店为了确定向公司A或公司B购买某种商品，将A和B公司以往的各次进货的次品率进行比较，数据如下所示，设两样本独立。问两公司的商品的质量有无显著差异。设两公司的商品的次品的密度最多只差一个平移，取α=0.05。
A：7.0 3.5 9.6 8.1 6.2 5.1 10.4 4.0 2.0 10.5
B：5.7 3.2 4.1 11.0 9.7 6.9 3.6 4.8 5.6 8.4 10.1 5.5 12.3 解：设?A、?B分别为A、B两个公司的商品次品率总体的均值。则该问题为在水平α=0.05下检验假设：H0：?A??B，H1：?A??B
>> A=[7.0 3.5 9.6 8.1 6.2 5.1 10.4 4.0 2.0 10.5];
>> B=[5.7 3.2 4.1 11.0 9.7 6.9 3.6 4.8 5.6 8.4 10.1 5.5 12.3]; >> [p,h,stats]=ranksum(A,B,0.05)
结果为：
p =
0.8041 h = 0 stats =
zval: -0.2481 ranksum: 116
结果表明：一方面，两样本总体均值相等的概率为0.8041，不接近于0；另一方面，H=0也说明可以接受原假设H0，即认为两个公司的商品的质量无明显差异。
4.8.5 两个总体中位数相等的假设检验——符号秩检验
函数 signrank
168