第一章 随机事件与概率习题参考答案与提示
1． 设A、B、C为三个事件，试用A、B、C表示下列事件，并指出其中哪两个事件是互逆事件：
（1）仅有一个事件发生； （2）至少有两个事件发生； （3）三个事件都发生； （4）至多有两个事件发生；
（5）三个事件都不发生； （6）恰好两个事件发生。 分析：依题意，即利用事件之间的运算关系，将所给事件通过事件A、B、C表示出来。
解：（1）仅有一个事件发生相当于事件ABC、ABC、ABC有一个发生，即可表示成ABC?ABC?ABC；
类似地其余事件可分别表为
（2）AB?BC?AC或ABC?ABC?ABC?ABC；（3）ABC；（4）ABC或A?B?C；（5）ABC；（6）ABC?ABC?ABC或AB?BC?AC?ABC。 由上讨论知，（3）与（4）所表示的事件是互逆的。
2．如果x表示一个沿着数轴随机运动的质点位置，试说明下列事件的包含、互不相容等关系：
A??x|x?20? B??x|x?3? C??x|x?9? D??x|x??5? E??x|x?9?
解：（1）包含关系：D?C?A 、 E?B 。
（2）互不相容关系：C与E（也互逆）、B与D、E与D。 3．写出下列随机事件的样本空间：
（1）将一枚硬币掷三次，观察出现H（正面）和T（反面）的情况； （2）连续掷三颗骰子，直到6点出现时停止, 记录掷骰子的次数； （3）连续掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和；
（4）生产产品直到有10件正品时停止，记录生产产品的总数。 解：（1）???HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT?；
1,2,??； （2）???（3）???3,4,?,18?；
10,11,??。 （4）???4．设对于事件A、B、C有P(A)?P(B)?P(C)?1/4, P(AC)?1/8，
1
P(AB)?P(BC)?0，求A、B、C至少出现一个的概率。
提示：A、B、C至少出现一个的概率即为求P(A?B?C)，可应用性质4及性质5得P(ABC)?5/8
5．设A、B为随机事件，P(A)?0.7，P(A?B)?0.3，求P(AB)。 提示：欲求P(AB)，由概率性质3可先计算P(AB)。 解：由于A?AB?(A?B)，且AB?(A?B)??，从而 P(A)?P(AB)?P(A?B) 即
P(AB)?P(A)?P(A?B)?0.4 由概率性质3得
P(AB)?1?P(AB)?1?0.4?0.6。
6．已知事件A、B满足P且P(A)?1/3，求P(B)。 (ABP)?(A?B) 解法一：由性质（5）知
P(B)=P （性质5） (A?B)?P(A)?P()AB =1 （性质3） ?P(A?B)?P(A)?P(AB) =1 （对偶原理） ?P(A?B)?P(A)?P(AB)=1?PA()=1? 解法二：由于
P=P (ABP)?(A?B)(A?B)?1?P(A?B)1 =1??P(B)?P(AB)
32从而得?P(B)?0，即
32 P(B)?
3
12? （已知条件） 33 7．一个袋中有5个红球2个白球，从中任取一球，看过颜色后就放回袋中，然后再从袋中任取一球。求：（1）第一次和第二次都取到红球的概率； （2）第一次取到红球，第二次取到白球的概率。
解：设A表示：“第一次和第二次都取到红球”； B表示：“第一次取到红球，第二次取到白球“。 （1）由于n(A)=5?5，且n(?)=7?7，故
2
P(A)?n(A)25? n(?)49n(B)10? n(?)49 （2）由于n(B)=5?2，且n(?)=7?7，故 P(B)? 8．一批产品有8个正品2个次品，从中任取两次，每次取一个（不放回）。求：（1）两次都取到正品的概率；
（2）第一次取到正品，第二次取到次品的概率； （3）第二次取到次品的概率； （4）恰有一次取到次品的概率。
解：设Ai表示：“第i次取出的是次品”（i=1，2），则所求概率依次化为
P(A1A2)、P(A1A2)、P(A2)?P(A1A2?A1A2)、P(A1A2?A1A2)。
由于无放回地从10个产品中任取两次，每次取一个，第一次有10个可取，第二次有9个可取，因此n(?)?10?9。
（1）由于n(A1A2)?8×7，所以 P(A1A2)?8?728 ?10?945（2）n(A1A2)?8×2，所以
P(A1A2)?8?28 ?10?945828 ??10945或直接用乘法公式
P(A1A2)?P(A1)P(A2|A1)? （3）由于n(A1A2)?2×1，n(A1A2)?8×2，且A1A2?A1A2??，所以 P(A2)?P(A1A2)?P(A1A2)?或直接用乘法公式
P(A2)?P(A1A2?A1A2)?P(A1A2)?P(A1A2) ?P(A1)P(A2|A1)?P(A1)P(A2|A1)? （4）由于A1A2、A1A2互不相容， P(A1A2?A1A2)?P(A1A2)?P(A1A2)
3
28?21??。 10?910?9521821???? 1091095 ?P(A1)P(A2|A1)?P(A1)P(A2|A1) ?288216。 ????10910945 9．设有80件产品，其中有3件次品，从中任取5件检查。求所取5件中至少有3件为正品的概率。
解：设A：“所取5件中至少有3件为正品”；则A的对立事件为至多有2件为正品，即：“恰有2件为正品”（最多有3件次品）。因此
23C3n(A)C778215 P(A)?1?P(A)?1? ??5n(?)8216C8032415或：n(A)?C77 C3?C77C3?C77 P(A)?32415C77C3?C77C3?C775C80?8215。 8216 10．从5双不同的鞋子中任取4只，求4只鞋子至少有2只配成一双的概率。 分析：直接求4只鞋子至少有2只配成一双的概率不易得到正确的结果，这是由于所考虑事件比较复杂，解决此类问题的方法通常是利用概率性质3，即先求逆事件的概率。该题的解法较多，现分述如下：
解：设事件A表示：“取出的4只鞋子至少有2只配成一双”，则事件A表示：取出的4只鞋任意两只均不能配成一双”。
方法一．若取鞋子是一只一只地取（不放回），则共有取法10×9×8×7种， 而取出的4只鞋任意两只均不能配成一双的取法共有10×8×6×4种，所以 P(A)?1?P(A)?1?10?8?6?413?
10?9?8?7214 方法二、从5双不同的鞋子中任取4只，共有C10=210种取法。取出的4只
鞋任意两只均不能配成一双共有C54?24=80种取法（先从5双中任取4双共C54种取法，然后从每双鞋子中任取一只，每双鞋子有2种取法，故共有24种取法）。所以
P(A)?1?P(A)?1?8013? 21021 方法三、为了使取出的4只鞋子任意两只均不能配成一双，故可考虑4只鞋子中取左脚k（k?只，右脚4?k只（这4?k只右脚只能从剩余0，1，2，3，4)?k的5?k双鞋子中任取）其共有?C5kC54?k?80种取法，故
k?04 4
P(A)?1?P(A)?1?8013 ?21021 方法四、（直接法）设事件Ai表示：“取出的4只鞋子恰有i双配对”（i=1，2），则A?A1?A2，且A1?A2??。A1包含基本事件数为从5双鞋子中任取一
121双，同时在另外4双鞋子中任取不能配对的两只的不同取法共有CCC5(8?4)种12(C4?22)）（C5；A2包含基本事件数为从5双鞋子中任取2双，不同取法共有C52种。故
11C5(C82?C4)C5213 P(A)?P(A1)?P(A2)? ?4?4C10C1021 11．假设每个人的生日在一年365天都是等可能的，那么随机选取n(?365)个人，求他们的生日各不相同的概率及这n个人至少有两个人生日在同一天的概率；若n，求上述两个事件的概率。 ?40 分析：此问题属于占位问题。
解：设A表示事件：“n个人的生日各不相同”；B表示事件：“这n个人至少有两个人生日在同一天”。由于每个人的生日在一年365天都是等可能的，所以
n(?)=365，n(A)?Ann365nA365，从而P(A)?。
365n 由于B事件是A事件的对立事件，所以
A3n65 P(B)?1?P(A)?1? n365 若取n?40，则
40A365?0.109 P(A)?40365?0.891 P(B)?1?P(A)?1?0.109
12．某进出口公司外销员与外商约谈，两人相约某天8点到9点在预定地点会面，先到者要等候另一个人20分钟，过时就离去，若每人在这指定的一个小时内任一时刻到达是等可能的，求事件A={两人能会面}的概率。
解：设x、y分别表示两人到达预定地点 的时刻，那么两人到达时间的可能结果 60
对应边长为60的正方形里所有点（见图1-1）， 这个正方形就是样本空间?，而两人能会面
5