?11?YXDYDX?DY?6 32从而有X与Z的相关系数?YZ?Cov(Y,Z)DYDZ?3 ； 2223．设X和Y的相关系数为0.5,EX?EY?0,EX2?EY2?2,求E(X?Y)。 解： E(X?Y)=EX?2E(XY)?EY =4+2[Cov(X,Y)?EX?EY]
?4?2?XY?DX?DY?4?2?0.5?2?6。
24．假设一部机器一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停止工作，若一周5个工作日里无故障可获利10万元，发生一次故障仍获利5万元，发生二次故障获利0元，发生三次或三次以上要亏损2万元，求一周内期望利润。
分析：一部机器在一周5个工作日可视为5重贝努利试验，因此一周5个工作日里机器发生故障的次数（记为X）服从二项分布。若以Y表示生产利润，则Y是X的函数，因此问题化为求随机变量函数的数学期望。
解：设Y表示生产利润，X表示每周发生故障的次数，则X~B(5，0.2)，其概率分布
kk5?k为P{X?k}?C50.2?0.8，又Y是X的函数，其可能取值为－2，0，5，10。所以
222 P{Y?10}?P{X?0}?0.8?4/5?1024/3125
1445 P{Y?5}?P{X?1}?C5?0.2?0.8?5?4/5?1280/3125 22335 P{Y?0}?P{X?2}?C5?0.2?0.8?10?4/5?640/3125
555 P{Y??2}?P{X?3}?1?P{X?3}?181/5?181/3125 EY?10?51024128064018116278?5??0??(?2)???5.20896 3125312531253125312512))，求DX?Y。 2故一周内期望利润为5.21万元。
(25．设随机变量X、Y独立同服从正态分布N(0， 分析：由于随机变量X、Y相互独立同分布，故联合概率分布为 f(x,y)?112??2e1?(2x2?2y2)2?1?e?(x2?y2) (???x,y???)
解法一：EX?Y???????????x?yf(x,y)dxdy
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? ? ?1?2??????dx?(x?y)e??xx?(x2?y2)dy?dy
??1??????dy?(y?x)e??y?(x2?y2)dx
???2??dx?(x?y)e????y?(x2?y2)?2[?dy?????xe?(x2?y2)dx??dx?ye????x?(x2?y2)dy]
???????e?2y2dy?2112??222???????ey212?4dy?2?
解法二：设Z?X?Y，由X、Y独立同服从正态分布知，X、Y的线性函数也服从
1)，所以 正态分布，且Z?X?Y~N(0?0，?1?(?1)?2)?N(0， EX?Y?EZ? ?2 又EZ22?????z?(z)dz???z?(z)dz????0??0z?(z)dz
???0z?12?e1?z22dz???2?
?EZ2?DZ?(EZ)2?1，所以DX?Y?1?2?。
26．设灯管使用寿命X服从指数分布，已知其平均使用寿命为3000小时，现有10只这样的灯管（并联）每天工作4小时，求150天内这10只灯管（1）需要换管的概率；（2）平均有几只需要更换；（3）需要更换灯管数的方差。
分析：若设Y表示150天内这10只灯管需要更换的只数，则Y服从二项分布，即
Y~B(10，P{X?600})，所以问题（1）即是求P{Y?1}；问题（2）即是求EY；问题
（3）即是求DY。
??e??x，x?0 解：由题设知X~f(x)??（?待定），由已知条件
?0，x?0 EX?从而解得?????0x?e??xdx?1??3000
1，即 30001x?1?3000?，x?0 X~f(x)??3000e?0，x?0? （1）150天内每只灯管工作600小时，因此150天内需要换管的概率为 P{X?600}??60001?x/3000edx?1?e?0.2， 300?0.2 设Y表示150天内这10只灯管需要更换的只数，则Y服从参数为1?e的二项分布，
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1?e即Y~B(10，?0.2)。因此需要换管的概率为
?0.20 P{Y?1}?1?P{Y?0}?1?(1?e （2）EY?np?10?(1?e?0.2)(e?0.2)10?1?e?2；
)?10?10e?0.2；
?0.2 （3）DY?np(1?p)?10(1?e)e?0.2。
27．设?与?独立同分布，已知?的概率分布为P{??i}?1/3(i?1，2，3)，又设
X?max{?，?}，Y?min{?，?}。求：
（1）EX、EY；
（2）随机变量X，Y的协方差。
分析：欲求EX、EY及Cov(X，Y)，需先求(X，Y)的概率分布及EXY。
解：由条件?与?仅取1、2、3知X、Y也仅取1、2、3，故(X，Y)的可能取值为（1，1）、（2，1）、（2，2）、（3，1）（3，2）、（3，3）,而
P{X?2，Y?1}?P{??2，??1}?P{??2，??1}?同理得
P{X?3，Y?1}?P{X?3，Y?2}?112?? 9992 91 9 P{X?1，Y?1}?P{X?2，Y?2}?P{X?3，Y?3}?又{X?1,Y?2}、{X?1,Y?3}、{X?2,Y?3}均为不可能事件，所以其概率均为零，故(X，Y)概率分布为
Y X 1 2 3 1 1/9 2/9 2/9 2 0 1/9 2/9 3 0 0 1/9 关于X的边缘概率分布为
X 1 2 3 P 1/9 3/9 5/9 关于Y的边缘概率分布为
Y 1 2 3 P 5/9 3/9 1/9
43
13522 ?2??3??999953114 EY?1??2??3??
999912122136 （2）EXY?1?1??2?1??2?2??3?1??3?2??3?3??
999999936221416 Cov(X，Y)=EXY?EXEY????
99981（1）EX?1?28．设某种商品每周的需求量X是服从区间[10，30]上均匀分布的随机变量，而经销商店进货数量为区间[10，30]中的某一整数，商店每售出一单位商品可得利500元；若供大于求则削价处理，每处理一单位商品亏损100元；若供不应求，则可从外部调剂供应，此时每单位商品仅获利300元，为使商店所获利润期望值不小于9280元，试确定最小进货量。 分析：依题意，需求量X服从[10，30]上的均匀分布，因此其概率密度为
?1?，10?x?30 f(x)??20
?它?0，其而此商店经销该种商品每周所得利润是与X和进货数量n有关的，所以该问题化为求利润函数的数学期望。
解：依题意，设利润函数为Z(X)，且有 Z???500n?300(x?n)，x?n
?500x?100(n?x)，x?n??130 EZ?EZ(X)??Z(x)f(x)dx?Z(x)dx
??20?101n130 ?(600x?100n)dx?(200n?300x)dx
20?1020?n1 ?(700n0?10500?0150n2)?350n?5250?7.5n2
20为使商店所获利润期望值不小于9280元，需 350n?5250?7.5n?9280
由此解得20.67?n?26。故最小进货量应不少于21个单位。
29．设二维随机变量（X，Y）的概率密度为
21f(x,y)?[?1(x,y)??2(x,y)]，
2其中?1(x,y)和?2(x,y)都是二维正态密度函数，且它们对应的二维随机变量的相关系数分
别为1/3和-1/3，它们的边缘密度函数所对应的随机变量的数学期望都是0，方差都是1。 （1）求X和Y的概率密度f1(x)和f2(y)，及X和Y的相关系数?。
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（2）问X和Y是否独立？为什么？
解：（1）由于二维正态密度函数的两个边缘密度正态密度函数，因此?1(x,y)和
?2(x,y)的两个边缘密度为标准正态密度函数，故
f1(x)?? ?????f(x,y)dy
1????[????1(x,y)dy?????2(x,y)dy] 212?e?x211?x2/21?x2/2?[e?e]?
22?2?同理，
f2(y)?/2
12?e?y2/2
由于X~N(0,1)，Y~N(0,1)，可见EX?EY?0，DX?DY?1。所以X和Y的相关系数
??EXY???????xyf(x,y)dxdy
?????1????111????[??????xy?1(x,y)dxdy???????xy?2(x,y)dxdy]?[?]?0 223338?2（2）由题设 f(x,y)?[e?9(x2?2xy/3?y2)/16?e?9(x2?2xy/3?y2)/16]
1?x2/2?y2/21?(x2?y2)/2 f1(x)f2(y)? e?e?e2?2? f1(x)f2(y)?f(x,y) 所以X与Y不独立。
30．设X和Y的联合分布在以点（0，1），（1，0），（1，1）为三角形区域上服从均匀分布，试求随机变量U?X?Y的方差。
解法一：三角形区域为G?{(x,y):0?x?1,0?y?1,x?y?1}；随机变量X和Y的联合分布密度为
?2,若(x,y)?G f(x,y)??
0,其他?以fX(x)表示X的概率密度，则 当x?0或x?1时，fX(x)=0； 当0?x?1时，有
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y 1 o 1 x