解：由条件知X和Y的联合概率密度为
?1/4,1?x?3,1?y?3 f(x,y)??0,其他?以F(u)?P{U?u}(???u???)表 示随机变量U?X?Y的分布函
y y?x?u 3 2 x?y?u 数。显然，当u?0时，F(u)?0； 当u?2，F(u)?1。
设0?u?2时，则 F(u)??x?y?u 1 y?x??u o 1 2 3 x
??f(x,y)dxdy
1??4dxdy 图2-6 (x?y?u)?G ?[4?(2?u)2]?1?(2?u)2 于是，随机变量U?X?Y的概率密度为
?1? p(u)??2(2?u),0?u?2
?其他?0,141436．设随机变量X与Y独立，其中X的概率分布为
X 0 1 pk 0.3 0.7
而Y的概率密度为f(y)，求随机变量U?X?Y的概率密度g(u)。
分析：求二维随机变量函数的分布，一般用分布函数法转化为求相应的概率. 注意X只有两个可能的取值，求概率时可用全概率公式进行计算。
解： 设F(y)是Y的分布函数，则由全概率公式，知U?X?Y的分布函数为
G(u)?P{X?Y?u}
=0.3P{X?Y?u,X?0}?0.7P{X?Y?uX?1} =0.3P{Y?uX?0}?0.7P{Y?u?1X?1}。 由于X和Y独立，可见
G(u)?0.3P{Y?u}?0.7P{Y?u?1}
=0.3F(u)?0.7F(u?1).
由此,得U的概率密度
g(u)?G?(u)?0.3F?(u)?0.7F?(u?1)
31
=0.3f(u)?0.7f(u?1).
注： 本题属新题型，求两个随机变量和的分布，其中一个是连续型一个是离散型，具有一定的难度和综合性。
第 三 章 随机变量的数字特征
1．设随机变量X的概率分布为
X －3 0 1 5 pk 0.1 0.2 0.3 0.4 试求EX。
解：EX??3?0.1?0?0.2?1?0.3?5?0.4?2。 2．已知随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3 Pk 0.1 p 0.4 0.2 求：（1）常数p ；（2）数学期望EX；（3）方差DX。
解：（1）由归一性，p?0.3；
（2）EX?0?0.1?1?0.3?2?0.4?3?0.2?1.7； （3）由于
EX2?02?0.1?12?0.3?22?0.4?32?0.2?3.7；
所以，
DX?EX?(EX)?3.7?(1.7)?0.81 3． 已知随机变量X的分布列为
X 0 1 2 pk 0.3 p 0.5
2求：（1）数学期望E(X?1)；（2）方差D(X?1)2。
222解：（1）由归一性，p?0.2；设Y?(X?1)，则随机变量Y的分布列为 Y 0 1 pk 0.2 0.8 所以，
E(X?1)?EY?0?0.2?1?0.8?0.8； 又
22EY2?02?0.2?12?0.8?0.8；
所以，
D(X?1)?EY?(EY)?0.8?(0.8)?0.16
2222 32
4．已知连续型随机变量X的概率分布为 f(x)??求X的数学期望。
解：EX??1/8,0?x?8
0,其它?11xdx?x2|80?4 08168?????xf(x)dx??5．设随机变量X服从拉普拉斯分布，其分布密度为
f(x)?求X的数学期望。
1?x??e2?/?，??0（???x???）。
分析：该题要求熟练掌握计算连续型随机变量的数学期望的公式。 解：由数学期望的定义，有 EX???????xf(x)dx??????x?e2?x???dx
??x?????xxx???edx??e?dx ??2??2?令
x????t，则
EX??0?t??20t??etdt????0???t??20?te?tdt
0?? ??2????tedt??tedt??2???edt??e?tdt
0t??? ?0??2?2
=?。
6．设随机变量X的概率密度为
?1?x，?1?x?0?f(x)??A?x，0?x?1，
?0，其它?求：（1）常数A；（2）数学期望EX；（3）方差DX 。 解：（1）由归一性， 从而得，A?1； （2）EX=
??01???f(x)dx???1(1?x)dx??(A?x)dx?A?1
0?????xf(x)dx??x(1?x)dx??x?(1?x)dx?0；
?1001 33
（3）由于
EX2=?x2f(x)dx??x2(1?x)dx??x2(1?x)dx?????01?101； 6于是 DX?EX?(EX)?7．设X的概率分布为 f(x)?求EX、DX。
221。 61?xe （???x???） 20??11x解：EX??xf(x)dx??xedx??xe?xdx?0
????202?? DX?EX?(EX)? ?022?????x2f(x)dx
??112x2?xxedx?x???2?02edx?2
8．设X的概率分布为
1?,当x?1,?2 f(x)???1?x
?0,当x?1,?求X的数学期望EX和方差DX。
分析：该题考察计算连续型随机变量的数学期望和方差的公式。 解：由数学期望的定义，有
EX??由y?????xf(x)dx??1x?1?1?x2dx，
x?1?x2是奇函数，故有
EX?0，
DX?EX?EX?EX??22????x2f(x)dx
??令x?sint，则有
1x2?1?1?x2dx?2?1x20?1?x2dx，
?DX?2?20sin2t?dt????2?20sintdcost
34
??sintcost2???02?2?2??20cos2tdt
?1?从而可得 DX???20sin2tdt
1。 2118 119 120 121 122 9．设用A、B两测量仪器测量某一产品的直径多次，结果如下表：
XA pk
0.06 0.14 0.60 0.15 0.05 XB pk 118 119 120 121 122 0.09 0.15 0.52 0.16 0.08 试比较两种仪器的优劣。
分析：由于题设中没有给出所测产品直径的真实值，故要比较两种仪器的优劣，就是要比较这两种仪器哪个的测量精度更高一些，即要比较两种仪器测量的方差哪个更小一些。
解：由题设，得
EXA?118?0.06?119?0.14?120?0.60?121?0.15?122?0.05?120.99， EXB?118?0.09?119?0.15?120?0.52?121?0.16?122?0.08?119.99。
222而 DXA?E(XA?EXA)?(118?120.99)?0.06?(119?120.99)?0.14
?(120?120.99)2?0.60?(121?120.99)2?0.15?(122?120.99)2?0.05
=1.104。
DXB?(118?119.99)2?0.09?(119?119.99)2?0.15?(120?119.99)2?0.52
?(121?119.99)2?0.16?(122?119.99)2?0.08
=0.6552。
显然有DXA?DXB，可见A 仪器的测量误差要比B仪器的测量误差大，故B仪器要优良些。
10．设X的概率分布为
35