?e?x,x?0 f(x)??
?0,x?0求：（1）Y?2X的数学期望；（2）Y?e解：EY?E2X? EY?Ee?2X?2X的数学期望。
?????2xf(x)dx??2xe?xdx?2
0????e?????2xf(x)dx??e?2xe?xdx?1/3
0??11．试证明事件在一次试验中发生的次数的方差不超过
1。 4分析：事件在n次独立重复试验中发生的次数服从参数为n，p的二项分布B(n,p)，当然在一次试验中发生的次数应服从B(1,p)，即为(0-1)分布。
证明：令X???1，事件A在试验中发生，?0，事件A在试验中不发生.
显然，X~B(1,p)其中p表示每次试验中事件发生的概率。
2则EX?p，DX?p(1?p)?p?p。 而p?p?211，故有DX?，
441。 4即事件在一次试验中发生的次数的方差不超过 12．设X、Y的概率分布分别为
?2e?2x，x?0?4e?4y，y?0 f(x)?? f(y)??
?0，x?0?0，y?0求：E(X?Y)和E(2X?3Y)。
分析：由数学期望性质知，要计算E(X?Y)和E(2X?3Y)，关键是计算EX、EY、
22EY2。
解：由于X,Y均服从指数分布，故知EX?望性质得
E(X?Y)?EX?EY?2111； EY=、DY?，因此由数学期
4162113?? 24435? 8822 E(2X?3Y)?2E(X)?3E(Y)?1?3(DY?(EY))?1? 36
13．设X、Y是两个相互独立的随机变量，其概率分布分别为
?2x,0?x?1?e?(y?5)，y?5 f(x)?? ； f(y)??
其它?0,?0，其它求EXY。 解：EX? EY???1??????xf(x)dx??2x2dx?0??52 3??yf(y)dx??ye?(y?5)dy?6
EXY?EXEY?2?6?4 314．设随机变量X服从正态分布，其数学期望EX?1.7，方差DX?3。试求： （1）X的概率密度； （2）Y?1?2X的概率密度。
(3)2)，其概率密度为 解：由题意知，随机变量X服从正态分布，即X~N(1.7， ?(x)?16?e?(x?1.7)2/6 (???x???)
由正态随机变量的线性函数仍服从正态分布知，随机变量Y?1?2X的分布应为
Y~N(EY，DY)。又EY?E(1?2X)?1?3.4??2.4，DY?D(1?2X)?4DX?12，
所以Y~N(?2.4，12)，其概率密度为
?(y)?126?e?(y?2.4)2/24 (???y???)。
15．设随机变量X~N(1,22)、Y~N(0,1)，且相互独立，求：
（1）Z?2X?Y的期望和方差； （2）Z?2X?Y的期望和方差。
分析：由两个独立的正态随机变量的线性函数也服从正态分布即可得到相应分布，进而求得其期望和方差。 解：（1）由X~N(1,22)、Y~N(0,1)，且相互独立知，
Z?2X?Y~N(2,17)
从而得 EZ?2,DZ?17.
22)、Y~N(0,1)，且相互独立知，
（2）同样由X~N(1, 37
Z?2X?Y~N(2,17)
从而得 EZ?2, DZ?17. 16．设随机变量X服从参数为?的泊松分布，且已知E[(X?1)(X?2)]?1，求?。
22解：E[(X?1)(X?2)]?E(X?3X?2)?EX?3EX?2
?????3??2=1 即??2??1?0，解得?=1。
17．设二维随机变量(X，Y)的联合概率分布律为 X Y 0 1 0 0.1 0.2 1 0.3 0.4 求：（1）EX，EY，DX，DY；
（2）(X，Y)的协方差，相关系数，协方差阵，相关阵。 解：（1）关于X和Y的边缘分布律分别为
X 0 1 Y 0 1 P 0.3 0.7 P 0.4 0.6 所以 EX?0.7 DX?EX?(EX)?0.7?0.49?0.21 EY?0.6 DY?EY?(EY)?0.6?0.36?0.24
（2）EXY?0.4； Cov(X,Y)?EXY?EXEY?0.4?0.7?0.6??0.02 ?XY?222222Cov(X,Y)?0.02??0.089
DXDY0.210.24?0.21?0.02?协方差阵为 ???0.020.24??
??相关阵为 ???0.089?? ?1???0.089?1 18．设随机变量的概率密度为 （X，Y）?1?(x?y)，0?x?2，0?y?2 f(x,y)??8
?0，其它?求相关系数?XY。
38
分析：欲求相关系数，需先求DX、DY、EX、EY、Cov(X，Y)。 解：EX???xf(x,y)dxdy?G212127xdx(x?y)dy?x(2x?2)dx? ???000886212127 EY???yf(x,y)dxdy??ydy?(x?y)dx??y(2?2y)dy?
080806G EXY?2??xyf(x,y)dxdy?G2124xdxy(x?y)dy? ??008321225 EX???xf(x,y)dxdy??xdx?(x?y)dy?
0803G2 DX?EX?(EX)?同理得DY?11/36，进而得
2257211 ?()?36364491??? 33636 Cov(X,Y)?EXY?EX?EY? ?XY?Cov(X,Y)DXDY?136??1。
1111113636? 19．设两个随机变量X、Y的方差分别为25及36，相关系数为0.4，求D(X?Y)及
D(X?Y)。
解：由方差的性质知
D(X?Y)?DX?DY?2??xyDXDY?85 D(X?Y)?DX?DY?2??xyDXDY?37
20．设X与Y方差分别为4和1，协方差Cov(X,Y)?0.8，求： （1）X与Y的相关系数?XY； （2）D(2X?3Y)及D(2X?3Y)。
分析：X与Y的相关系数?XY可由相关系数的定义(3-16)式直接求得。D(2X?3Y)及D(2X?3Y)可由方差的性质2、协方差的性质及其关系求得。
解：（1）由题设知DX?4,DY?1,Cov(x,y)?0.8，从而得
?XY?Cov(x,y)0.8??0.4
DXDY4?1 39
由方差的性质，协方差的性质及其关系可知
D(2X?3Y)?4DX?9DY?2Cov(2X，3Y)
?4?4?9?1?2?2?3?0.8?34.6
D(2X?3Y)?4?4?9?1?2?2?3?0.8?15.4
21．设X表示10次独立重复射击命中目标的次数，若每次命中目标的概率为0.4，则X的数学期望EX2 。
分析：由题意，X~B(10，0.4)，由于DX?EX?(EX)，所以
22，而 EX?DX?(EX)222 EX?np?10?0.4?4
DX?np(1?p)?10?0.4?0.6?2.4 故 EX?2.4?4?18.4
223)和N(1，4)，且X与Y的相关系数22．已知X、Y分别服从正态分布N(0，22?XY??1/2，设Z?X/3?Y/2，求：
（1）求数学期望EZ，方差DZ； （2）Y与Z的相关系数?YZ；
分析：本题要求熟悉数学期望、方差、协方差的性质、计算及有关正态分布的性质。 解：（1）由数学期望、方差的性质及相关系数的定义得 EZ?E( DZ?D(XYXY111?)?E()?E()??0??1? 3232322Cov(X,Y)XYXYXY) ?)?D()?D()?2Cov(，) (?XY?323232DXDY1111DX?DY?2???XYDXDY 2232321111122 ?2?3?2?4?2???(?)?3?4?1?4?2?3；
32232 ? （2）由协方差的性质3得 Cov(Y，Z)?Cov(Y，X?13111Y)?Cov(Y,X)?Cov(Y,Y)
322 40