8． 设随机变量X的分布函数为
?0,? F(x)??Ax2,?1,?x?00?x?1 1?x求：（1）系数A；（2）随机变量X落在区间（0.3，0.7）内的概率； （3）随机变量X的概率密度。
分析：本题是已知随机变量的分布函数，由分布函数的性质可求出系数A；再由概率密度函数性质可求得（2）及（3）。
解：（1）由分布函数的连续性性质得A?1，故分布函数为
?0,? F(x)??x2,?1,?x?00?x?1 1?x （2）由概率密度函数性质知，X落在区间（0.3，0.7）内的概率为 P{0.3?X?0.7}?F(0.7)?F(0.3)?(0.7)2?(0.3)2?0.4 （3）由概率密度函数性质知，所求概率密度为
?2x,0?x?1 f(x)??
0,其它?9．设随机变量X的概率密度为
?A，x?1? f(x)??1?x2
?其它?0，11求：（1）系数A；（2）X落在区间(?，)内的概率；（3）X的分布函数。
22 分析：连续型随机变量X的概率密度必须满足归一性，因此由归一性及定义可求出系数A及X的分布函数，至于（2）可由X的分布函数求得。 解：（1）由归一性， 1??f(x)dx??????1A1?x2?1dx?Aarcsinx|1?1?A?
解得A?1/?。
（3）由连续型随机变量的定义知X的分布函数为 Fx ()??f(ud)u?? 当x??1时，Fx=0； ()??f(ud)u?? 当?1?x?1时，
xx 16
F(x)??f(x)dx????xx1/?1?x2?1dx?1?xarcsinx|?1?1arcsinx? 2? 当x?1时，F(x)?1， 故X的分布函数为
0，x??1??1arcsxin，?1?x?1 F(x)???2??1，x?1，? （2）所求概率为 P{?11111?X?}?F()?F(?)? 22223 10． 设随机变量X的分布函数为
?1?e?x，x?0 F(x)??
x?0?0，求：（1）P{X?2}，P{X?3}；（2）X的概率密度。
解：（1）P{X?2}?F(2)?1?e?2 P{X?3}?1?F(3)?e?3 （2）随机变量X的概率密度为
?e?x，x?0 f(x)??
x?0?0，?x，0?x?1? 11． 设随机变量X的分布密度 f(x)??2?x，1?x?2，
?0，其它?求分布函数F(x)。
解：当x?0时，F； (x)?)x?0?f(xd??x12()x?f()xdx?xdx?x； ?x?1 当0时，F????02xxx1x12F(x)?f(x)dx?xdx??(2x)dxx?2?x?1?x?2 当1时，； ?????012(x)?f(x)dx?xdx??(2x)dx?01dx? 当x?时，F 。 2??????012x12x故随机变量X的分布函数为
17
?0，?12x，??2 F(x)??1?2x?x2?1，2??1，?x?00?x?1
1?x?2x?212．公共汽车站每隔5分钟有一辆客车通过，乘客到达汽车站的任一时刻是等可能的。求乘客侯车时间不超过3分钟的概率。
解：设X表示乘客侯车时间，则X~U(0,5)，乘客侯车时间不超过3分钟的概率为
313 P{X?3}??dx?
055补充1（修订版11）．某城市每天耗电量不超过一百万千瓦小时，
13．设随机变量X~N(10,22)，求P{10?X?13}；P{X?13}；
P{|X?10|?2}；P{X??28}；P{X??15}。
13?1010?10解：P{10?X?13}??()??()
223 ??()?0.5?0.9332?0.5?0.4332
213?10 P{X?13}?1?P{X?13}?1??()
23 ?1??()?1?0.9332?0.0668
212?108?10 P{|X?10|?2}?P{8?X?12}??()??()
22 ??(1)??(?1)?2?(1)?1?2?0.8413?1?0.6826 P{X??28}??(?28?10)??(?19)?0 2?1.5?10)?1 2 P{X??1.5}?1?P{X??1.5}?1??(14．设测量从某地到某目标的距离时，带有的随机误差X具有分布密度 f(x)?1402?e?(x?20)2/3200
（1）求测量误差的绝对值不超过30的概率；（2）如果接连测量三次，各次测量是相互独立的，求至少有一次误差的绝对值不超过30的概率。
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解：（1）P{|X|?30}?P{?30?X?30}??(30?20?30?20)??() 4040 ??(0.25)??(?1.25)??(0.25)??(1.25)?1 ?0.5987?0.8944?1?0.4931
（2）设Y表示3次独立重复测量中事件{X?30}出现的次数，则Y服从二项分布，即Y~B（3,0.4931）,从而问题化为求P{Y?1}。 P{Y?1}?1?P{Y?1}?1?P{Y?0}
0(0.4931)0(1?0.4931)3?0.8698 ?1?C3 15．在电源电压不超过200、200~240和超过240伏三种情况下，某种电
252)，子元件埙坏的概率分别为0.1、0.001和0.2，假定电源电压X~N(220，试求：（1）该电子元件被埙坏的概率?；
（2）电子元件被埙坏时，电源电压在200~240伏内的概率?。 分析：电子元件被埙坏时，电源电压只可能是不超过200、200~240和超过240伏三种情况下之一，因此（1）属于全概率问题；（2）属于条件概率问题。 解：设A1：“电源电压不超过200伏”；A2：“电源电压在200~240伏”； A3：“电源电压超过240伏”； B：“电子元件被埙坏”。
252)，所以 由于X~N(220， P(A1)?P{X?200}?F(200)??(200?220) 25 ??(?0.8)?1??(0.8)?1?0.788?0.212 P(A2)?P{200?X?240}??(240?220200?220)??() 2525 ??(0.8)??(?0.8)?2?(0.8)?1?0.576 P(A3)?P{X?240}?1??(240?220)?1??(0.8)?1?0.788?0.212 25或 P(A3)?1?P(A1)?P(A2)?0.212
由题设P(B|A1)?0.1,P(B|A2)?0.001,P(B|A3)?0.2，所以由全概率公式 ??P(B)??P(Ai)P(B|Ai)
i?13 ?0.212?0.1?0.576?0.001?0.212?0.2?0.0642 由条件概率公式
??P(A2|B)?P(A2)P(B|A2)0.576?0.001??0.009
P(B)0.064216．随机向量(X,Y)的分布密度为
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??A(R?x2?y2), f(x,y)???0,?x2?y2?R2 222x?y?R求（1）系数A；（2）(X,Y)落在圆x2?y2?r2(r?R)内的概率。
解：（1）由归一性，
1???f(x,y)dxdy??d??A(R?r)rdr
G002?R1213RA?R3 ?2A?(Rr?r)|0?
233得A?3。 3?Rx2?y2?r2（2）P{(X,Y)?D}???f(x,y)dxdy??d??02?3(R?r)rdr 0?R3r61213r3r22r ?3(Rr?r)|0?2(1?)
233RRR17．(X,Y)只取下列数组中的值（0，0），（-1，1），（-1，1/3），（2，0），其相应的概率依次为1/6，1/3，1/12，5/12，试列出(X,Y)的概率分布表，并求出关于Y的边缘分布。
解：(X,Y)的概率分布表为
Y X -1 0 2 0 0 1/6 5/12 1/3 1/12 0 0 1 1/3 0 0 关于Y的边缘分布为
Y 0 1/3 1 pk 7/12 1/12 1/3 18．袋中装有标有号码1，2，2的三只球，从袋中任取一球后不再放回，然后再从袋中任取一球，以X、Y分别表示第一次、第二次取得球上的号码。求X和Y的联合概率分布。
解：的所有可能取值为(1，2)、(2，1)、(2，2)，由概率乘法公式得 （X，Y）11 p12?P{X?1，Y?2}??1?
33211 p21?P{X?2，Y?1}????p22
323此外{X?1，Y?1}是不可能事件，所以p11?0,于是（X，Y）的概率分布表为
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