Y X 1 2 1 0 1/3 2 1/3 1/3
0?y?2,?C，0?x?1， 19．设(X，Y)的概率密度为f(x，y)??求：
其它,?0，（1）常数C； （2）(X，Y)关于X、Y的边缘概率密度； （3）随机变量X与Y是否相互独立，为什么？ 解：（1）由归一性
1???????f(x，y)dxdy?C?0dx?0dy?2C 解得C?1/2
12?? （2）fX(x)????f(x,y)dy??0dy?1(x?0)
2????12?1,所以 fX(x)???0,fY(y)??????x?0x?0
111f(x,y)dx??dx?(y?0)
202?1/2,所以 fY(y)???0,y?0y?0
（3）由于fX(x)fY(y)?f(x,y)，故随机变量X与Y相互独立。 20．设随机向量（X，Y）的分布函数
xy F(x,y)?A(B?arctan)(C?arctan)
23求：（1）系数A、B、C； （2）（X，Y）的分布密度； （3）边缘分布密度。
解：（1）由分布函数性质
x? limF(x,y)?A(B?arctan)(C?)?0 （1）
y???22?y limF(x,y)?A(B?)(C?arctan)?0 （2）
x???23 limF(x,y)?A(B?)(C?)?1 （3） x???22y???由（1）得C?
???2，由（2）得B??2，代入（3）得A?21
1?2。故随机向量（X，
Y）的分布函数为 F(x,y)?1?x?y(?arctan)(?arctan) 2223?2（2）由分布函数性质（4）知
?2F(x,y)16 f(x,y)? ?222?x?y?(4?x)(9?y)（3）fX(x)? ??????6f(x,y)dy?2?dy 22???(4?x)(9?y)??12 2?(4?x)?? fY(y)????f(x,y)dx? ?3 2?(9?y)6dx 2?22???(4?x)(9?y)??1 21．设二维随机变量（X，Y）的概率分布为
0?y?x?4.8y(2?x)，0?x?1， f(x,y)??
0，其它?求随机变量X和Y的边缘分布密度fX(x)、fY(y)。
分析：二维随机变量（X，Y）关于随机变量X和Y的边缘概率密度，可应用（2-10）式和（2-11）式求得。
解：（1）如图2-4，由（2-10）式知，当0?x?1时 y fX(x)=?????f(x,y)dy??4.8y(2?x)dy y?x 0x ?4.8(2?x)?12y2x0?2.4(2?x)x2 其它情形fX(x)均为零，故X的边缘概率密度为 o 1 x ?2.4(x?2)x2，0?x?1 fX(x)=? 图2-4
0，其它? 同理，当0?y?1时 fY(y)=?????f(x,y)dx??4.8y(2?x)dx
y1 22
11 ?4.8y[?(2?x)2]y?2.4y(3?4y?y2)
2 其它情形fY(y)均为零，故Y的边缘分布密度为
?2.4y(3?4y?y2)，0?y?1 fY(y)??
0，其它? 22．设的分布密度为 （X，Y）?1，y?x，0?x?1 f(x,y)??
其它?0，（1）求条件分布密度fX|Y(x|y)及fY|X(y|x)；（2）判断X，Y是否独立。 分析：条件分布密度fX|Y(x|y)及fY|X(y|x)，可由（2-17）及（2-19）式求得，这就需先求关于X、Y的边缘概率分布。
解：（1）f(x，y)的非零取值区域如图2-5阴影部分，由（2-10）式，当0?x?1时，
fX(x)=?????f(x,y)dy??dy?2x
?xx其它情况fX(x)均为零，故关于X的边缘分布密度为 y y?x ?2x，0?x?1 fX(x)?? ?0，其它由（2-19）式知，当0?x?1时，Y的条件分布密度为 o 1 x ?1?，y?x fY|X(y|x)??2x y??x ??0，其它 同理，由（2-11）式 图2-5
?1dx?1?y，0?y?1??y???1 fY(y)=?f(x,y)dx???dx?1?y，?1?y?0
???y?0，其它??由（2-17）式，0?y?1时
23
?1，y?x?1? fX|Y(x|y)??1?y
?其它?0，?1?y?0时，
?1，?y?x?1? fX|Y(x|y)??1?y
?其它?0， （2）X，Y不独立，因为f(x,y)?fX(x)fY(y)。
23．随机向量（X，Y）在矩形区域a?x?b，c?y?d内服从均匀分布。求（X，Y）的分布密度及边缘分布密度，并判断X，Y是否独立。
解：由题意知（X，Y）的分布密度为
1?,a?x?b,c?y?d? f(x,y)??(b?a)(d?c)
?0,其它?当a?x?b， fX(x)??f(x,y)dy?????1 ，其它均为0，故（X，Y）关于X的b?a边缘分布密度为
?1?,a?x?b fX(x)??b?a
?其它?0,同理得（X，Y）关于Y的边缘分布密度为
?1?,c?y?d fY(y)??d?c
?其它?0,又由于f(x,y)?fX(x)fY(y)，所以X，Y独立。
补充2（修订版23）．在习题22中，求X及Y的条件分布密度。 解：由上题X，Y独立的结论知，当a?x?b时，有
?1?,c?y?d fY|X(y|x)?fY(y)??d?c
?其它?0,当c?y?d时，有
?1?,a?x?b fX|Y(x|y)?fX(x)??b?a
?其它?0,
24
24．设X~N(?,?2)，求Y?X???X??解：FY(y)?P{Y?y}?P{?y}?P{X?y???}?FX(y???)
? fY(y)?fX(y???)?? ?25．设X的概率分布为
X -2 -1 1 2 的分布密度。
12??e?12?2(y?????)2??
12?e1?y22 ???y???
P 3/10 1/10 1/5 2/5 求；（1）Y?X2?2的概率分布；（2）Y?X3?1的概率分布。
解：（1）Y?X2?2的概率分布为 Y 3 6 P 3/10 7/10 （2）Y?X3?1的概率分布为
Y -7 0 2 9 P 3/10 1/10 1/5 2/5 26．设X~N(0,1)，求：（1）Y?eX的分布密度；（2）Y?|X|的分布密度。 解：（1）由Y?eX，即y?ex解得x?lny，x?y?1/y，故，当y?0时 fY(y)?12?e1?(lny)22?1 y当y?0时，fY(y)?0，所以Y?eX的分布密度为
?1?(lny)2/2e，y?0?f(y)? Y ?2?y?0，y?0?（2）由分布函数定义，当y?0时，FY(y)?0，当y?0时 FY(y)?P{Y?y}?P{X?y}?P{?y?X?y}??f(x)dx
?yy所以Y?|X|的分布密度为
?2?y2/2?2f(y)，y?0?e，y?0??? fY(y)?FY?(y)??
?0，y?0?0，y?0?27. 设随机变量X的概率密度为
25