广州新东方优能中学教育 郭可（GK）
解：(1) 由a2?a7?a12??6得a7??2，所以a1?4
? an(9?n)n?5?n， 从而 Sn?2----------------------------6分 (2)由题意知b1?4,b2?2,b3?1
设等比数列?bn?的公比为q，则q?b2b?12， 14??1?(1)m???T2??1?m??1?1?8??1?(2)m?? ?(1)m22随m递减， ??Tm?为递增数列，得4?Tm?8
又Sn(9?n)2??1n?2(n2?9n)??1?981?2??(n?2)2?4??， 故(Sn)max?S4?S5?10，
若存在m?N*, 使对任意n?N?总有Sn?Tm??
则10?8??，得??2------------------------14分
9.（2010江门市理科质量检测21）（本题满分14分）把正奇数数列{2n?1}中的数按上小下大、左小右大的原则排成如下三角形数表：
1 3 5 7 9 11 — — — — — — — — —
设aij(i，j?N*)是位于这个三角形数表中从上往下数第i行、从左往右数第j个数。（I）
若amn?2005，求m，n的值； （II）已知函数f(x)的反函数为f?1(x)?8nx3 (x?0)，若记三角形数表中从上往下数
第n行各数的和为bn，求数列{f(bn)}的前n项和Sn。 解：（I）?三角形数表中前m行共有1?2?3???m?m(m?1)2个数，??1分 36
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?第m行最后一个数应当是所给奇数列中的第m(m?1)2项。 故第m行最后一个数是2?m(m?1)2?1?m2?m?1
??2分
因此，使得a2mn?2005的m是不等式m?m?1?2005的最小正整数解。 由m2?m?1?2005得m2?m?2006?0????3分 ?m??1?1?8024?1?7921?2?1?892?2?44?m?45??4分
于是，第45行第一个数是442?44?1?2?1981??5分 ?n?2005?19812?1?13 ??6分
（II）?f?1(x)?8nx3?y(x?0)，?x?(12)n3y。故f(x)?(12)n3x(x?0)?7分?第n行最后一个数是n2?n?1，且有n个数，若将n2?n?1看成第n行第一个数，则
第n行各数成公差为-2的等差数列，故bn?n(n2?n?1)?n(n?1)2(?2)?n3??9分n
?f(b?1?3n3?n(1n)???2??2)n
??10分
故S11n?2?2(2)2?3(12)3???(n?1)(112)n?1?n(2)n ?12S121322?3(12)4???(n?1)(12)n?n(1n?()?2()2)n?1，??11分
两式相减得：
1S?1?(1)2?(1)3???(11n2)n?n(2)n?12222 ??12分
1[1?(1)n]?22?n(1)n?1?1?(1)n?n(1)n?1 ??13分
1?12222 ?S1nn?2?(n?2)(2)??14分
10.（2010佛山市顺德区质量检测理科18）（本小题满分14分）在等差数列{an}中，设Sn为它的前n项和，若S15?0,S16?0,且点A(3,a3)与B(5,a5)都在斜率为－2的直线l上，（Ⅰ）求a1的取值范围；
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（Ⅱ）指出
S1,S2,?,S15a中哪个值最大，并说明理由． 1a2a15解（Ⅰ）由已知可得
a5?a35?3??2,则公差d??2, ???????2分 ????S15?15a1?15?14?d?15(a1?14)?0?2??14?a1?15???????7分 ???S16?16a1?16?152?d?16(a1?15)?0（Ⅱ）最大的值是
S8a ???????8分 8?S15?15a8?0 S16?8(a8?a9)?0 ???????10分 ?a8?0,a9?0 即S8最大 ???????11分
又当1?i?8时，
Sia?0；当9?i?15时，Sia?0，数列{an}递减???????13分 ii所以，
S1a?S2???S8SSSa?9?????15?8a最大???????14分 1a28a9a158
11.(2010深圳市第一次调研文科20)（本题满分14分） 已知数列{a*
n}满足：a1?1，且对任意n?N都有
111a?．
1a???2a?1n2anan?1（Ⅰ）求a2，a3的值； （Ⅱ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅲ）证明：a1a2?a2a3???anan?1=an?1a（n?N*
）．
n解：（Ⅰ）由已知，
1?1得a1a2?12a1a24 1a?1a?1得a3?1122a2a39 ??????? 2分 38
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（Ⅱ）当n?2时，
1a?111a???2a?1n2a①
nan?11?1???1a?11a2an?12a②
n?1an①－②得：
1a?1?1n2anan?12a??????? 4分
n?1a n ?
1?1aa?2
n?1n?1 ∴ 数列{1a},{12n?1a}皆为等差数列 ??????? 6分
2n∴
1a?1a?(n?1)?2?2n?1
2n?1111a??(n?1)?2?2n ??????? 8分
2na2综上，
1?n ， ? a1a.n?． ???????nn2 9分 （Ⅲ）a1a2?a2a3???anan?1?
?11?2?12?3???1n(n?1) ?11111111?2?2?3???n?n?1?1?n?1?nn?1 ??????? 12分 an?1n2a?n(n?1)2?nn?1
∴等式成立。 ??????? 14分
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