广州新东方优能中学教育 郭可（GK）
∵1?a?4，∴0?a?1?1，∴0?(a?1)n?1 ???13分 ∴Sn?a?12?a ??????14分
4.(2010东莞市一模文科21)（本小题满分14分）设Sn为数列?an?的前n项和，对任意的
n?N*，都有Sn??m?1??man(m为常数，且m?0)．
（1）求证：数列?an?是等比数列；
（2）设数列?an?的公比q?f?m?，数列?bn?满足b1?2a1,bn?f?bn?1? (n?2，n?N*)，
求数列?bn?的通项公式；
?2n?1（3）在满足（2）的条件下，求数列???的前n项和Tn．
?bn?解：（1）证明：当n?1时，a1?S1??m?1??ma1，解得a1?1．??????1分 当n?2时，an?Sn?Sn?1?man?1?man． ?????????????????2分即?1?m?an?man?1． ∵m为常数，且m?0，∴
ana?m?n?2?． ???????????????3分 n?11?m∴数列?amn?是首项为1，公比为
1?m的等比数列． ?????????????4分 （2）解：由（1）得，q?f?m??m1?m，b1?2a1?2． ???????????5分
∵bn?f?bn?1??bn?11?b， ????????????????????????6分
n?1∴
1b?1b?1，即1?1?1?n?2?． ?????????????????7分 nn?1bnbn?1∴??1?是首项为1，公差为1的等差数列． ??????????????????b?8分n?2∴
112n?1b???n?1??1?，即b2?N*n?（n）． ??????????9分 n222n?131
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22n?1（3）解：由（2）知bn?2n?1，则b?2n?2n?1?． ???????????10分
n?222324b?????2n?2n?1所以Tn， 1b2b3bn?1bn即T1n?2?1?22?3?23?5???2n?1??2n?3??2n??2n?1?， ① ??11分
则2T?22?1?23?3?24?5???2n??2n?3??2n?1n??2n?1?， ② ??12分
②－①得Tn?1n?2??2n?1??2?23?24???2n?1， ????????????13分
故T23?1?2n?1?n?1n?2n?1??2n?1??2?1?2?2??2n?3??6． ????????14分
5.(2010广雅金山佛一中联考文科18)（本小题满分14分） 已知数列?an?中，a1?12，点?n，2a?n?1?an??n?N?在直线y?x上． （Ⅰ）计算a2,a3,a4的值；
（Ⅱ）令bn?an?1?an?1，求证：数列?bn?是等比数列； （Ⅲ）求数列?an?的通项公式． 解：（Ⅰ）由题意，2an?1?an?n, a11?2, 2a32?a1?1, a2?4.??? 2分 同理a113?8,a354?16, ??????????????? 3分 （Ⅱ）因为2an?1?an?n,
所以bn?1?an?2?an?1?1?an?1?n?1n2?a?an?1?1n?1?1?2, ???? 5分
bbn?an?1?an?1?an?1?(2an?1?n)?1?n?an?1?1?2bn?1, n?1?1bn2? 7分
又b31?a2?a1?1??4，所以数列?b31n?是以?4为首项，2为公比的等比数列. 9分
n?1（Ⅲ） 由（Ⅱ）知 b3?1?n??4???2?? ??????????????? 10分
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3?1?n?13?1?n?1∴ an?1?an?1＝?4???2??∴ an?1?an＝?4???2??＋１ ????? 11分
∴ an?a1??a2?a1???a3?a2?????an?an?1? ??????????? 12分
＝12－3?4????1?0????1?1?2?????1?2n?2?2??????1????2???2????＋n－１
? ＝n?2?32n ??????????????? 14分
6.（2010惠州市第三次调研理科20）（本小题满分14分） 已知数列?an?中，
a1?2,an?an?1?2n?0?n?2,n?N?.
（1）写出a2、a3的值（只写结果）并求出数列?an?的通项公式； （2）设bn?1a?1?1?????1，若对任意的正整数n，当m???1,1?时，不等式n?1an?2an?3a2nt2?2mt?16?bn恒成立，求实数t的取值范围。 解：（1）∵ a1?2,an?an?1?2n?0?n?2,n?N? ∴ a2?6,a3?12 ?????2分 当n?2时，an?an?1?2n,an?1?an?2?2?n?1?,???,a3?a2?2?3,a2?a1?2?2， ∴ an?a1?2??n??n?1??????3?2??，
∴
an?2??n??n?1??????3?2?1?n??2?n?1?2?n?n?1? ?????????5分
当n?1时，a1?1??1?1??2也满足上式， ∴数列?an?的通项公式为an?n?n?1??6分
（2）b1a?1?????1n??1?2??1?n?2??n?3??????12n?2n?1? n?1an?2a2n?n?1??n ?1?n?1??1?n?2??1?n?2??1?n?3??????12n?1?2n?1? ?1?n?1??1?2n?1??n12n2?3n?1? (2n?1n)?333
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?????????8分
令f?x??2x?1x?x?1?，则f??x??2?1x2， 当x?1时,f??x??0恒成立 ∴ f?x?在x??1,???上是增函数，故当x?1时，f?x?min?f?1??3
即当n?1时， (b1n)max?6 ????????11分 要使对任意的正整数n，当m???1,1?时，不等式t2?2mt?16?bn恒成立，则须使
t2?2mt?16?(b12n)max?6，即t?2mt?0,对?m???1,1?恒成立，
∴ ??t2?2t?0?t2?2t?0,解得，t?2或t??2 ∴ 实数t的取值范围为???,?2???2,?????
14分
另解： b111n?1?bn?n?2?2n?3?n?1?12n?1?1n?2?12n?1???1?2n?3?1?n?1?? ?3n?33n?2n2?5n?2?42n2?5n?3?0
∴ 数列?ab1n?是单调递减数列，∴(bn)max?1?6
7.（2010惠州市第三次调研文科21）（本小题满分14分） 函数 f (x) 对任意x ? R都有 f(x)?f(1?x)?12 （1）求 f(12)的值．
（2）数列{an} 满足：an= f(0)+f(1n)?f(2n)????f(n?1n)?f(1)，数列?an? 是等差数列吗？请给予证明； （3）令b4n?4a,T?b22221?b2?b3????bn,Sn?32?16n?1nn.
试比较Tn与Sn的大小． 解：（1）因为f(1)?f(1?12)?f(12)?f(12)?12．所以f(1122)?4?..2分 （2）令x?1111n，得f(n)?f(1?n)?2，
即f(1n)?f(n?1n)?12．??????????????????????434
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分
1n?1an?f(0)?f(n)???f(n)?f(1),
又an?1n?f(1)?f(n)???f(1n)?f(0) 两式相加：
2a[f(0)?f(1)]?[f(1n)?f(n?1n)]???[f(1)?f(0)]?n?1n?2??
7分
所以an?n?1n?1?1n?114,n?N?，又an?1?an?4?4?4． 故数列{an} 是等差数列．????????????????????????9分 （3）b4n?4a?4n?1n, ∴T?b2?b22111n12???bn?16(1?22?32???n2) ?16[1?11?2?12?3???1n(n?1)] ????????????12分 ?16[1?(1?12)?(12?13)???(11n?1?n)] ?16(2?116n)?32?n?Sn,
所以Tn?Sn??????????????????????????14分
8.(2010执信中学2月高三考试文科20)（本小题满分14分）已知等差数列?an?的公差为?1, 且
a2?a7?a12??6,
（1）求数列?an?的通项公式an与前n项和Sn；
（2）将数列?an?的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列?bn?的前3项,记?bn?的前n项和为Tn, 若存在m?N*, 使对任意n?N?总有Sn?Tm??恒成立, 求实数
?的取值范围.
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