广州新东方优能中学教育 郭可（GK）
（2）求数列{an}的通项公式（将an用n表示）； （3）设数列{1a}的前n项和为S，证明：S4nnn?，n?N*． nn?22解：（1）由已知，得aa33293?2a2?a1?2?2?1?3，a4?a??2，
22a2a?2?9a25625?4?a32?3?6，a6?a?49?8． ??????????2分
2（2）（法1）∵a2n?1,a2n,a2n?1成等差数列，∴a2n?1?2a2n?a2n?1，n?1,2,3,?； ∵a2n,a2n?1,a2n?2成等比数列，∴a2n?2?a22n?1a，n?1,2,3,?． 2n又
a3a?3，a5?4，a7?5，??；a4?9，a6?16，a8?25，?? 11a32a53a24a49a6162∴
猜
想
a2n?1n?2a2n?2?a?2n?1n，
a??n?2??n?1?2n?，
n?N*， ??????????4分
以下用数学归纳法证明之．
aa31?2a2①当n?1时，2?1?12?1?2a4a?3??，??9???1?2??，猜想成立；
2?1?1a111a2?1a24?1?1?2②假设n?k(k?1)时，猜想成立，即a2k?1k?2a2k?2?k?2?a?，???，
[来源:学科网]
2k?1ka2k?k?1?2?a22k?1a?a2k?那么
2k?32a2k?2?a2k?1a??a12k?2a2k?1:学*科*网]
2k?1a2k?1a?1[来源2k?1a2k4?a2k?1k??2a2k?1a?1?a4?22k?1?1?k?12k?1?a2k?121?a2k?1a1?k?22k?1k?2(k?2)k?1?1?(k?1)?2k?1，
a22k?3a2k?4a?a2k?2?a2k?3?2?2a22k?2a???2k?2k?2?a2k?2??a2k?2?????1???a2k?2? ?21
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?a2k?2???2???2a2k?2?a2ka2k?2?2?a???2??a?12k?2k?2???a??2k?2??a2k????2?k?22??2??k?11??(k?1)?2???k?2?????(k?1)?1?． ??k?1??∴n?k?1时，猜想也成立．
由①②，根据数学归纳法原理，对任意的n?N*，猜想成立． ?????6分 ∴
a?12n?1?aa3a?a51??a7???a2n?3?a2n1a3a5a2n?5a2n?3?1?345nn?1n(n?1)1?2?3???n?2?n?1?2，
a42n?aaa2?a?a6?a8a???2n2a46a2n?2?2??2222?3?(n?1)2?2?????4??3?????5??4???????n?1??n???2． ???8分（注：如果用数学归纳法仅证明了
a2n?1a?n?2，n?N*， 2n?1n则由
an(n?1)2n?1?2，
得
n(n?1)?(n?1)(n?2)aa2n?1?a2n?1?22(n?1)22n?22?2； 如果用数学归纳法仅证明a2n?2?n?2?2a???，n?N*，
2n?n?1?2则
由
a?(n?1)2n2，得
a2n?1?a2na2?(n?1)2(n?2)2(n?1)(n?2)n?22?2?2， 又a1?(1?1)n(n1?1?2也适合，∴a?1)2n?1?2．） 22
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n?1?n?1??1??2?2?(n?1)(n?3)∴当n为奇数时，an?2?8；
?2?n?1??当n为偶数时，a?2?(n?2)2n?2?8． ???(n?1)(n?3)即数列{a??8,n为奇数n}的通项公式为an． ???9分?(n?2)2 ??8,n为偶数（注：通项公式也可以写成a17?(?1)n21n?8n?2n?16）（法2）令ba2n?1n?a，n?N*，则 2n?12?a22k?1?ab2k?32a2k?2?a2k?1n?1?aa??a2k?12k2k?1a2k?1a?2a2k?1?1
2k?1a2k4?a2k?1?2a2k?1a?1?a2k?1?14bn2k?1?a2k?121?a??1．
2k?11?bna2k?1∴b2(bn?1)1(b?1)?21n?1?1?1?b，?1?n2(b??1．
nbn?1n?1)2bn?1从而
1?1b?1（常数），n?N*，又1?1，
n?1?1bn?12b1?12故{1b}是首项为1，公差为1的等差数列，∴1?1?12?(n?1)?12?n2，n?122bn解
之
，
得
b2n?1n?n?2n，即
aa?n?22n?1nn?N*． ??????????6分
∴aa32n?1?a1??a5?a7???a2n?3?a2n?1a 1a3a5a2n?5a2n?3?1?3451?2?3???nn?1n(n?1)n?2?n?1?2，
，
23
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从而a2n?a2n?1?a2n?12n(n?1)(n?1)(n?2)?(n?1)222??22．（余同法
1）????????8分
（注：本小题解法中，也可以令bn?a2n?2a，或令bn?2n，余下解法与法2类似） a2na2n?18?,n为奇数?(n?1)(n?3)1?（3）（法1）由（2），得． ??an?8,n为偶数2?(n?2)?显然，S1?144?1； ???????10分 ?1??a131?2当n为偶数时，
?11111111? Sn?8??2??2??2????2?4?666?88n?(n?2)(n?2)??2?44??1?1??11??11?11?????8???????????????????2?42?44?64?66?86?8n?(n?2)n(n?2)??????????
??11??11??11?1???1?8???????????????????
244668nn?2??????????1?4n?1； ???????12分 ?8?????2n?2?n?2当n为奇数（n?3）时，Sn?Sn?1?14(n?1)8 ??an(n?1)?2(n?1)(n?3)??n?14n2n?4n84n. ?4???????n?2?n?1(n?1)(n?3)n?2?n?2(n?1)(n?2)(n?3)n?24n，n?N*． ??????????14分 n?2综上所述，Sn?8?,n为奇数?(n?1)(n?3)1?（解法2）由（2），得． ??an?8,n为偶数2??(n?2)以下用数学归纳法证明Sn?4n，n?N*． n?224
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①当n?1时，S1?144?1； ?1??a131?2当n?2时，S2?11134?2．∴n?1,2时，不等式成立． ??1???2?a1a2222?2????????????11分
②假设n?k(k?2)时，不等式成立，即S4kk?k?2， 那么，当k为奇数时，
S4k8k?1?Sk?1a?k?1k?2?(k?3)2 ?4(k?1)k?3?4??k?k?2?2(k?3)2?k?1?k?3???4(k?1)k?3?8(k?2)(k?3)2?4(k?1)(k?1)?2； 当k为偶数时，
S14k8k?1?Sk?a?k?1k?2?(k?2)(k?4) ?4(k?1)?k2k?1?k?3?4?
?k?2?(k?2)(k?4)?k?3???4(k?1)8k?3?(k?2)(k?3)(k?4)?4(k?1)(k?1)?2．
∴n?k?1时，不等式也成立．
由①②，根据数学归纳法原理，对任意的n?N*，不等式S4nn? n?2成立．??14分 课堂练习 一．选择题
1.(2010年揭阳市一模文科2）已知数列{a1n}是等比数列，且a1?8，a4??1，则{an}的公比q为（ ） A.2 B.－112 C.－2 D. 2 答案：C由
a4a?q3??8?q??2. 12.（2010广州市一模文科10）如图3所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”， 它们是由整数的倒数组成的，第n行有n个数且两端
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