概率论与数理统计标准作业纸答案
第二章 随机变量及其分布
§2.1 随机变量§2.2 离散型随机变量及其概率分布
一、单选题
1. 设离散随机变量X的分布律为:
P{X?k}?b?k,(k?1,2,3?),??1, 且b?0，则?为（ C ）
(A) ??0 (B)??b?1 (C)??2.设随机变量X~B(2,p),Y~B(3,p), 若P?X?1??11 (D)?? 1?bb?15,则P?Y?1??9 (B)
（ C ）
(A)
341729 (C)
1927 (D)
7 93.设F1(x)与F2(x)分别为随机变量X1与X2的分布函数,为使F(x)?aF1(x)?bF2(x)是某一变量的分布函数,在下列给定的数值中应取( A )
32,b??55二、填空题
(A)a?(B)a?22,b?33(C)a??13,b?22(D)a?13,b?? 221.进行重复独立试验,设每次试验成功的概率为
41, 失败的概率为, 将试验进行到出现55一次成功为止, 以X表示所需试验次数, 则X的分布律是
14P?X?k??()k?1? , k?1,2,?
552.如果随机变量X的分布律如下所示,则C? 25/12 . X 0 1 2 3 P 1111 2C3C4CC3.设离散随机变量X服从泊松分布,并且已知P?X?1??P?X?2?, 则 P?X?4?＝2?2e(0.0902) . 3第 11 页
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三、计算题
X1.设随机变量X的概率分布为
P?10113611 2求X的分布函数.
?0,?1?,?3解：F(x)???1,?2?1,?当x??1当?1?x?0
当0?x?1当x?12. 一个袋子中有5个球,编号为1,2,3,4,5, 在其中同时取3只, 以X表示取出的3个球中的最大号码, 试求X的概率分布.
解：X的可能取值为3、4、5，计算得X的概率分布为: X 3 4 5 P
313 105103.某地区一个月内发生交通事故的次数X服从参数为?的泊松分布,即X~P(?),据统计资料知,一个月内发生8次交通事故的概率是发生10次交通事故的概率的2.5倍. (1) 求1个月内发生8次、10次交通事故的概率; （2）求1个月内至少发生1次交通事故的概率. 解： ?X~P(?)?P{X?k}??ke??k!,k?0,1,2?
根据题意 P{X?8}?2.5P{X?10}, 即
?8e??8!?2.5??10e??10!,解得 ??36,??6.
268e?6610e?6(1)P{X?8}??0.1033P{X?10}??0.04138!10! (2)P{X?0}?e??e?6?0.00248P{X?1}?1?P{X?0}?1?0.00248?0.9975.
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§2.3 连续型随机变量及其概率密度
一、单选题
1.设f(x)、F(x)分别表示随机变量X的密度函数和分布函数，下列选项中错误的是（ A ）
（A） 0?f(x)?1 （B） 0?F(x)?1
（C）
?????f(x)dx?1 （D） f(x)?F'(x)
2.下列函数中，可为随机变量X的密度函数的是（ B ）
?sinx, （A） f(x)???0,??sinx,（C） f(x)????0，0?x??其它??sinx, （B）f(x)????0,0?x?其它?2
0?x?3?2 （D）f(x)?sinx,???x??? 其它?0,x?(?)?2?x3.设F(x)??,(?)?x?2,当(*)取下列何值时,F(x)是连续型随机变量的分布函
?4??1,x?2数.（ A ）
(A) 0 (B) 0.5 (C) 1.0 (D)1.5 4.在区间??1,2?上服从均匀分布的随机变量X的密度函数是（ B ）
?3,（A） f(x)???0, （C） f(x)?3,?1?x?2其它?1?, （B）f(x)??3??0,?1?x?2其它
1,???x??? 35.服从参数为0.5的指数分布的随机变量X的密度函数是（ C ）
???x??? （D）f(x)??2e?2x, （A） f(x)???0,x?0x?0 （B） f(x)?2e?2x,???x???
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x?1?12?e, （C） f(x)??2?0,?2x?0x?0x1?12f(x)?e, （D）
2???x???
6.设X~N(?,?),那么当?增大时，则P(X????)（ C ） (A)增大 (B)减少 (C)不变 (D)增减不定 7.随机变量X~N(?,1),且P{X?2}?P{X?2},则??（ B ）
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
二、填空题
1.设连续随机变量X的分布函数为F(x)?A?Barctanx,(1)A????x???
1111; B? ;(2)P(?1?X?1)? 0.5 ;(3)概率密度f(x)?? . 2?1?x2?2.设随机变量X在在区间??1,2?上服从均匀分布，则 (1)P(?6?x??1)? 0 ; (2) P(?4?x?1)?2 ; 3⑶ P(?2?x?3)? 1 ; (4) P(1?x?6)?1 . 33. 多年统计表明, 某厂生产的电视机的寿命X~e(0.2)(单位: 万小时). 某人购买了一台该厂生产的电视机, 其寿命超过4万小时的概率为e4.设随机变量X~N(100,?0.383 .
2?0.8?0.4493.
),且P(X?103)?0.3085,则P(97?X?103)?
三、计算题
?c?x,?1. 设随机变量X的概率密度：f(x)??c?x,?0,?求：（1）常数c；（2）概率P(X?0.5) .
?1?x?00?x?1 x?1第 14 页
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解：（1）
?0?1(c?x)dx??(c?x)dx?1，c=1
01 (2) P(X?0.5)=
?0?0.5(1?x)dx??(1?x)dx?0.75.
00.52.设随机变量X在区间?2,5?上服从均匀分布，对进行三次独立观测，试求至少有两次观测值大于3的概率.
?1?,解：X的概率密度为f(x)??3??0,2?x?5其它，设Y为对X进行三次独立观测时测值
2f(x)dx?. ?332022330则P{Y?2}?P{Y?2}?P{Y?3}?C3p(1?p)?C3p(1?p)?.
273. 设随机变量X的概率密度为
大于3的次数，则Y~b(3,p),其中p?P{X?3}?5f(x)?Ae?x,???x???
求: (1)系数A; (2)P(0?X?1).
????解(1) 因为:
???f(x)dx????Aedx?1
?x所以 A?0.5
1(2) P(0?X?1)=Ae0??x111dx??e?xdx=(1?)?0.316
2e20214.设随机变量X服从正态分布N(1,2)，求下列概率：
(1)P(X?2.2)=0.7275 (2)P(?1.6?X?5.8)=0.8950 (3)P(X?3.5)=0.8822 (4)P(X?4.56)=0.0402 §2.4
随机变量的函数及其分布
一、计算题
1.设随机变量X服从二项分布B(3,0.4)，求下列随机变量函数的概率分布：
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