概率论与数理统计标准作业纸答案
解： 由题意知 X～N(1,故 P(0.9?X?1.1)=?(0.04) n1.1-10.9-1)??()
0.2n0.2n=2?(0.5n)?1?0.95
即 ?(0.5n)?0.975 ，0.5n?1.96 ，n?15.3664 因此样本容量n最少应取为16.
2.设总体X服从几何分布p(x;p)?p(1?p)x?1,x?1,2,3,.如果取得样本观测值为
x1,x2,,xn，求参数p的矩估计值与最大似然估计值。
解：由已知可得
11n1v1(X)?E(X)?，所以??xi?x
pni?1p??由此可得参数的矩估计值为p似然函数为L(p)?1. xxi?1?(p(1?p)i?1n)?p(1?p)i?1n?xi?nn
取对数，得lnL(p)?nlnp?(?x?n)ln(1?p).于是，得
ii?1nndlnL(p)n11??. ??(?xi?n)?0.由此可得参数的最大似然估计值为pdpp1?pi?1x??x??1,0?x?13.设总体X的概率密度为f(x)??，（0???1）
?0, 其它如果取得样本观测值为x1,x2,解 ：（1）令EX?,xn，求参数?的极大似然估计值。
1?????xf(x)dx???x?dx?0???1?x
??所以?x为矩估计值。 1?x第 46 页
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n???1n?(2)似然函数为L(?)??f(xi,?)???xi????xi?i?1i?1?i?1?nnn??1
取对数，得lnL(?)?nln??(??1)?lnx，
ii?1dlnL(?)nn???lnxi?0. 于是，
d??i?1???由此可得参数的极大似然估计值为求得?n?lnxi?1n。
i??2D??，求常数c和d，使?和??为参数?的两个独立的无偏估计量，且假定D?4.设?1212??c???d??为?的无偏估计，并使方差D??最小. ?12???，故得c+d=1。 ??E(c???d??)?cE???dE???(c?d)?,且知E?解： 由于E?1212又由于
??D(c???d??)?c2D???d2D???2c2D???d2D???(2c2?d2)D?? D?1212222并使其最小，即使f?2c?d，满足条件c+d=1的最小值。
'22令d=1-c，代入得f?2c?(1?c)，fc?4c?2(1?c)?0, 6c?2?0
22解得c?12,d?1?c?。 3325. 对方差?为已知的正态总体来说，问需取容量n为多大的样本，才能使总体均值?的置信水平为1??的置信区间的长度不大于L。 解: 由于?的置信区间为(x??nu?,x?2?nu?)，故?的置信区间长度为22?nu??L.
2所以，有n?2?2?u?，即n?(u?)2.
L2L22
6. 岩石密度的测量误差服从正态分布，随机抽测12个样品，得s?0.2，求?的置信区
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间(??0.1)。
解: 查表得?0.05(11)?19.675,?0.95(11)?4.575，根据求置信区间的公式得?的置信区间为
222
(n?1)s2(n?1)s211?0.2211?0.22 (2, 2)?(, )=(0.02, 0.10).
??(n?1)??(n?1)19.6754.5752。1?27.测量某种仪器的工作温度(C)5次得数据如下： 1250 1275 1265 1245 1260
设仪器的工作温度服从正态分布N(?,?),?未知，试求?的置信区间(??0.05)。
22解选T?2X??n为估计用统计量，由a?0.05查t?分布表得Sta(n?1)?t0.05(5?1)?t0.025(4)?2.776421又x?(1250?1275?1265?1245?1260)?125951512570222222s?(x?x)?(9?16?6?14?1)??i5?1i?144
??x?t·?1as570?1259?2.7764?1259?14.8?1244.24?5n2??x?t·s?1259?14.8?1273.8 ?2an2N(4.55,0.062),现改变工艺，又测得9炉铁水的含碳
所以?的95%置信区间为(1244.2,1273.8).8.已知某炼铁厂的铁水含碳量X量分别为：
4.55 4.58 4.60 4.59 4.56 4.54 4.53 4.61 4.57 假设方差无变化，问总体的均值?是否有明显变化? ???0.05,u0.025?1.96? 解：假设H0:???0?4.55,H1:??4.55
u?X??0?N(0,1)
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??0.05,u??u0.025?1.96
2u?x??0??n4.57?4.55?1
0.063u?u?，不在拒绝域中，故接受假设H0,认为总体的均值无明显变化。
29.机器包装食盐，每袋净重量X（单位：g）服从正态分布，规定每袋净重量为500（g）.某天开工后，为检验机器工作是否正常，从包装好的食盐中随机抽取9袋，测得其净重量为：
497 507 510 475 484 488 524 491 515 以显著性水平??0.05检验这天包装机工作是否正常？ 解：设H0：??500； H1：??500
由于?未知，选统计量
2
t?X??0~t(n?1)
Sn2拒绝域为t?t?(n?1)，对显著性水平??0.05，查表得t?(n?1)?t0.025(8)?2.31。由
2样本值计算得x?499，s?257，s?16.03
t?2499?50016.033?0.187?2.31?t?(n?1)
2不拒绝，接受H0，认为每袋平均重量为500(g). 模拟题一
一、单选题
1.事件AB表示( C )
( A ) 事件A与事件B同时发生 ( B ) 事件A与事件B不同时发生
( C ) 事件A与事件B都不发生 ( D ) 事件A与事件B至少有一个不发生 2.离散型随机变量X的分布律为：
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X pk 则 ?? ( B ).
( A )
?1 0 1 ? 2?(2??) ? 2
1251 ( B ) ( C ) ( D ) 55663.随机变量X与Y相互独立，(X,Y)的联合分布律如下：
Y X ?1 1 4b e 0 a c p?j 1 3 pi? 则下列不正确的是（ D ） ( A ) a?1 2d f
1111 ( B ) b? ( C ) e? ( D ) f? 442424.设随机变量X,Y相互独立，且X~B(10,0.3),Y~B(10,0.4），则 E(2X?Y)?（ B ）
(A)12.6(B)14.8(C)15.2(D)18.9
25.样本(X1,X2,X3)来自总体X，且E(X)??,D(X)??，则有（ B ） ( A ) X1?X2?X3是?的无偏估计 ( B ) ( C )
X1?X2?X3?是的无偏估计
3X1?X2?X3?2是的无偏估计 ( D ) X是?2的无偏估计
4二、填空题
1.已知P(A)?0.3,P(B)?0.4,P(AB)?0.5，则条件概率P(BAB)? 0.25
2.一袋中有5个红球，3个白球，2个黑球，任取3个球恰为一红一白一黑的概率为 0.25 3.已知X,Y相互独立，且E(X)?2,E(Y)?3,D(X)?D(Y)?1, 则E[(X?Y)2]= 3 ?24.设随机变量X服从参数为?的泊松分布，且P{X?0}?e，则P{X?1}?1?3e
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