概率论与数理统计标准作业纸答案
数与反面出现次数之差的绝对值 , 求(X,Y)的分布律以及关于X、Y的边缘概率分布 .
解 X的可能取值为0，1,2,3；Y的可能取值为1,3
并且 (X,Y) 可取值 (0,3) , (1,1) , (2,1) , (3,3)
11P{X?0,Y?3}?()3?
2831112P{X?1,Y?1}?C3()()?
22832121 P{X?2,Y?1}?C3()()?
22811P{X?3,Y?3}?()3?
28得(X,Y)的分布及关于X、Y的边缘概率分布为
Y X 1 3 P{Xi} 1 83 83 81 81 0 1 0 3 83 81 80 0 1 82 82 3 0 6 8P{Yi} 2. 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
?Ae?2(x?y),f(x,y)???0,(1) 确定常数A;
(2) 求(X,Y)的分布函数F(x,y);
x?0,y?0,其它.
第 26 页
概率论与数理统计标准作业纸答案
(3) 求关于X和Y的边缘概率密度fX(x), fY(y); (4) 计算概率P(X?1,Y?2); (5) 计算概率P{X?Y?1}; (6) 随机变量X和Y是否独立？ 解 (1) 由联合概率密度的性质有
1???????????f(x,y)dxdy????0???0Ae?2(x?y)dxdy?A4,
故得 A?4.
(2) 由概率密度的定义知, 分布函数F(x,y)?当X?0或Y?0时, f(x,y)?0 , 故
????xy??f(x,y)dxdy,
F(x,y)?0.
当X?0且Y?0时,
F(x,y)??[?4e?2(x?y)dy]dx=(1?e?2x)(1?e?2y).
00xy 所以
?(1?e?2x)(1?e?2y),F(x,y)???0,(3) X的边缘分布函数为
?2x??1?e,FX(x)?F(x,??)????0,x?0,y?0,其它.
x?0,x?0.
故关于X的边缘概率密度为
?2e?2x,?(x)??fX(x)?FX?0,同理，关于Y的边缘概率密度为
x?0, x?0.??2e?2y,fY(y)????0,第 27 页
y?0,
y?0.概率论与数理统计标准作业纸答案
(4) P(X?1,Y?2)?F(1,2)?(1?e)(1?e) . ( P(X?1,Y?2)?(5) P{X?Y?1}??2?4??0120f(x,y)dxdy?(1?e?2)(1?e?4) )
x?y?1??f(x,y)dxdy???x?y?1x?0,y?04e?2(x?y)dxdy
??[?011?x04e?2(x?y)dy]dx?1?3e?2.
(6) 显然 f(x,y)?fX(x)fY(y),所以随机变量X和Y独立.
第四章 随机变量的数字特征
§4.1 数学期望
一、单选题
1.掷6颗骰子，令X为6颗骰子的点数之和，则E(X)?（ D ）
（A）42 （B）21/2 （C）7/2 （D） 21
二、填空题
?kx?,0?x?1,1.设连续型随机变量X的概率密度为f(x)?? 其中k,??0，又已知
?0,其它,E?X??0.75，则k? 3 ，?? 2 2. 设随机变量X服从参数为1的指数分布，则数学期望EX?e?2X? 4/3 ??三、计算题
1.袋中有5个球，编号为1,2,3,4,5，现从中任意抽取3个球，用X表示取出的3个球的最大编号，求E?X?. 解：X的分布律为
X p 则E?X??4.5。
3 4 5 1 103 103 5第 28 页
概率论与数理统计标准作业纸答案
2.设X的分布律为
X p -1 0 1 2 3 1 31 61 61 121 4求：E?X?,E??3X?2?,EX2. 解：E?X????31,E??3X?2???3E?X??2?? 441 0 1 4 9 X 2p E?X2??37 121 31 61 61 121 4?cxy,x?0,x2?y?13.二维随机变量(X,Y)的概率密度为：f(x,y)??，求： E(X)。
?0,其它解：
E(X)???????????xf(x,y)dxdy?6?11x0222xydydx?3x?2?y01y?1y?x26dx?3(x?x)dx?2?014 74. 设(X,Y)在A上服从均匀分布，其中A为x轴，y轴及直线x?y?1?0所围成的区域，求E?X?,E??3X?2Y?,E?XY?.。 解：因为A的面积为
1，所以(X,Y)的概率密度为 2?2,?1??1?y?x?0f(x,y)??
0,其它，?E?X???E?Y?????????????xf(x,y)dxdy??2x??101dydx?? ?1?x30????????1yf(x,y)dxdy??
31E??3X?2Y???3E?X??2E?Y??
3E?XY????????????xyf(x,y)dxdy??2xydx??100?1?xdy?1 12第 29 页
概率论与数理统计标准作业纸答案
§4.2 方差与标准差
一、单选题
1.对于任意两个随机变量X和Y，若E(XY)?E(X)E(Y)，则（ D ）
（A）D(XY)?D(X)D(Y) （B）D(X?Y)?D(X)?D(Y) （C）X和Y独立 （D）X和Y不独立
2.设随机变量?和?相互独立,又X?2??5，Y?3??8，则下列结论不正确的是（ B ）
（A）D(X?Y)?4D(?)?9D(?) （B）D(X?Y)?4D(?)?9D(?) （C）E(X?Y)?E(X)?E(Y) （D）E(XY)?E(X)E(Y) 3.随机变量X则（ A ）
( A ) a?1,b?3 ( B ) a?2,b?4 ( C ) a??1,b?1 ( D ) a?0,b?4
1U(a,b)，即X在区间(a,b)上服从均匀分布,且E(X)?2,D(X)?,3二、填空题
1.设X服从泊松分布，已知E?(X?1)(X?2)??1，则E?X?? 1
2.设X表示10次独立重复射击命中目标的次数，，每次射中目标的概率为0.4，则X的数学期望EX2? 18.4 3.已知连续型随机变量X的概率密度函数为f(x)?则E?X?? 1 D?X?? 0.5
2??1?e?x2?2x?1，
?1,X?0,?4.设随机变量X在区间??1,2?上服从均匀分布，随机变量Y??0,X?0, 则方差
??1,X?0，?第 30 页