概率论与数理统计标准作业纸答案
D?Y?2??8 9三、计算题
1.随机变量X与Y相互独立，它们的分布律分别为：
0 X ?2 ?1 1 0.3 0.2 0.3 0.2pk Y pk ?1 0.3 0 0.5 1 0.2 求：（1）E(2X?3Y);（2）D(2X?3Y) 解：（1）E(X)??0.6,E(Y)??0.1
E(2X?3Y)?2E(X)?3E(Y)?2?(?0.6)?3(?0.1)??0.9
（2） 1 4 X2 0 0.3 0.4 0.3 pk Y2 pk 0 0.5 1 0.5 E(X2)?1.6,E(Y2)?0.5?D(X)?E(X)?E(X)?1.6?0.36?1.2422
D(Y)?E(Y2)?E2(Y)?0.5?0.01?0.49
D(2X?3Y)?4D(X)?9D(Y)?4?1.24?9?0.49?9.37
2.设随机变量X的概率密度为f(x)??解：
?2x,0?x?1;求D(X).
0,其他.?第 31 页
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E?X???E?X2????2xf(x)dx??2x2dx?,031211xf(x)dx??2x3dx?, ??0221D(X)?E?X2???EX??????18.?????3. 二维随机变量(X,Y)在区域A?{(x,y)|0?x?1,0?y?x}上服从均匀分布，即
?c,0?x?1,0?y?x，求D?X?.。 f(x,y)???0,其它解：二维随机变量(X,Y)在区域A上服从均匀分布，?c?1?2 S(A)y?x11E(X)??E(X2)?????????????2x322xf(x,y)dxdy???2xdydx??2xyy?0dx??(2x)dx??00003031x11x1y?x11???????2x412223xf(x,y)dxdy???2xdydx??2xydx??(2x)dx??y?000004022D(X)?E?X2????E?X????1. 18第五章 大数定律和中心极限定理
一、填空题
1.设随机变量X的方差为，根据切比雪夫不等式有估计P{X?E(X)?2}?___12___
二、计算题
1.计算机在进行数值计算时，遵从四舍五入的原则。为简单计，现对小数点后第一位进行舍入运算，则误差X可以认为服从均匀分布U(?0.5,0.5),若在一项计算中进行了100次
数值计算，求平均误差落在区间[?33,]上的概率。 2020解:设Xi表示第i次运算的误差，i?1,2,,100.
XiU(?0.5,0.5),?E(Xi)?0,D(Xi)?1. 12第 32 页
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因为100比较大，所以总误差
?Xi?1100100i近似服从正态分布。
E(?Xi)??E(Xi)?50,D(?Xi)??D(Xi)?i?1i?1i?1i?1100100100100, 1211001X所以平均误差X?近似服从正态分布,E(X)?0,D(X)?. ?i100i?11200?P{?33X?0?X?}?P{?3??3}??(3)??(?3)?2?(3)?1=0.9974
120202032.某保险公司多年的统计资料表明，在索赔户中被盗索赔户占20%，以X表示在随意抽查的100个索赔户中因被盗向保险公司索赔的户数.求被盗索赔户不小于14户且不多于30户的概率近似值.
( 利用棣莫弗--拉普拉斯定理近似计算. ?(2.5)?0.9938,?(1.5)?0.9332 )
100,解: X~B（0.2） ， 因为 n?100 较大,
所以X近似服从正态分布. np?20 , npq?16 . (q?1?p) P（14?X?30）??(30?2014?20 )??（）44 ??(2.5)??（?1.5)
?0.9938?(1?0.9332)?0.927
3.某品牌家电三年内发生故障的概率为0.2,且各家电质量相互独立.某代理商发售了一批此品牌家电,三年到期时进行跟踪调查：
（1）抽查了四个家电用户,求至多只有一台家电发生故障的概率； （2）抽查了100个家电用户,求发生故障的家电数不小于25的概率。 ( (2)利用棣莫弗---拉普拉斯定理近似计算. ?(1.25)?0.8944 ) 解:设X表示发生故障的家电数,则
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(1) X~B（4,0.2）
P（X?1=P（X?0）+P（X?1 ）） =0.8+C4?0.2?0.8?0.8192
413100,(2) X~B（0.2） ， 因为 n?100 较大,
所以X近似服从正态分布. np?20 , npq?16 . (q?1?p) P（X?25）?1?P(X?25)?1??（25?20 ）4 ?1??（1.25)?1?0.8944?0.1056
第四五章 练习题
一、单选题
1.设随机变量X,Y相互独立，且X~B(10,0.3),Y~B(10,0.4），则 E(2X?Y)?（ B ）
2(A)12.6(B)14.8(C)15.2(D)18.9
解(B)由已知条件可得E(X)?3,D(X)?2.1,E(Y)?4,D(Y)?2.4
所以E(2X?Y)2?[E(2X?Y)]2?D(2X?Y)?[2E(X)?E(Y)]2?4D(X)?D(Y)?14.82．设随机变量X~N(1,4),Y~N(1,2），已知X,Y相互独立，则3X?2Y的方差为（ D ）
（A）．8 （B）．16 (C)．28
(D)．44
二、填空题
?a?bx2,0?x?131.设随机变量X的概率密度为f(x)??，已知E(X)?,则D(X)?
5其他?0,2/25
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解由1＝???1??f(x)dx??0(a?bx2)dx?a?13b得3a?b?3
再由35＝E(X)??????xf(x)dx??10(a?bx2)dx?12a?1124b得2a?b?5联立(1)、(2)两式解得a?365,b?5,代入f(x)表达式中即得D(X)?E(X2)?(EX)2????x2f(x)dx?(3)2??5
?35?10x2(1?2x2)dx?9119225?25?25?25.2.设随机变量X1,X2,X3相互独立，且都服从参数为
?的泊松分布，Y?13(X1?X2?X3)，则E(Y2)??2?13? 解E(Y)?13(EX111?EX2?EX3)??,D(Y)?9(DX1?DX2?DX3)?3?,故E(Y2)?(EY)2?D(Y)??2?13?,所以应填?2?1
3?.3．设随机变量X,Y的分布列分别为
X 1 2 3 Y -1 0 1 P 111， 113 6 2 P 124 4 且X,Y相互独立，则E(XY)=__-13/24__
三、计算题
1.把4个球随机地放入4个盒子中去，设X表示空盒子的个数，求E?X?。
4解： （法一）P?X?0??A46C1234C4A344?64，P?X?1??44?3664 P?X?2??C2(24?2)21C344144?64，P?X?3??44?64 所以 E?X??0?664?1?3664?2?2118164?3?64?64 第 35 页
令