机械特性和调节特性有利于提高自动控制系统的动态精度。
3）无“自转”现象伺服电机在控制电压为零时，能够自行停转。
4）快速响应电机的机电常数要小，相应的伺服电机要有较大的堵转转矩和较小的转动惯量。这样，电机的转速便能随着控制电压的改变而迅速变化。
(2) 编码器
编码器作为检测转速、线速度、角速度、线位移、角位移的一种传感器，是利用码盘将这些信号转换成亮、暗光信号，再用各种光电器件的光电效应将信号转换成电信号输出。可以说是一种最简单的数字式传感器，精度高且可靠，应用非常广泛。
编码器有两种形式:增量式编码器和绝对编码器。 (3)限位开关
限位开关又称行程开关,可以安装在相对静止的物体(如固定架、门框等，简称静物)上或者运动的物体（如行车、门等，简称动物）上。当动物接近静物时，开关的连杆驱动开关的接点引起闭合的接点分断或者断开的接点闭合。由开关接点开、合状态的改变去控制电路和机构的动作。
限位开关也可分为旋转限位开关及直行限位开关。
(4)运动控制器
2.1.2建立单级倒立摆的数学模型
数学模型是分析、设计、预报和控制系统的基础。建立系统数学模型有两种方法:一种是从基本物理定律，即利用各个专门学科领域提出来的物质和能量的守恒性、连续性原理，以及系统的结构数据推导出模型。这种方法得出的数学模型称为机理模型或解析模型，这种建立模型的方法称为解析法。另一种是系统运行和实验数据建立系统的模型(模型结构和参数)，这种方法称为系统辨识。倒立摆的形状较为规则，而且是一个不稳定系统，无法通过测量频率特性方法获取其数学模型，故适合用数学工具进行理论推导[16]。
直线倒立摆系统是一个机电一体化系统，由小车和摆杆组成。小车可以沿水平方向上的导轨运动，导轨的一端固定有位置传感器，可以测量小车的位移；摆杆通过转轴固定在小车上，小车和摆杆的连接处固定有共轴角度传感器，用以测量摆杆的角度。直流永磁力矩电机和位置传感器固定在同一侧，直流电机通过传送带驱动小车沿导轨运动。
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导轨的两端装有行程开关，限制小车的左右位置。
为了在数学上推导和处理问题的方便，可作出如下假设： （1） 摆杆在运动中是不变形的刚体；
（2） 齿型带与轮之间无相对滑动，齿型带无拉长现象； （3） 小车在运动过程中，摩擦系数一定； （4） 忽略空气阻力；
基于以上几点，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统（图2.3）
θ m u M F 0 x
图2.3 一级倒立摆小车摆杆位置图
在本文中，将应用牛顿一欧拉法对倒立摆进行数学建模[17]。在上面的图2.3 中假设:
x小车位移，单位(m);
β摆杆与垂直方向的夹角，单位(rad); M小车的质量，单位(kg); m摆杆的质量，单位(kg);
l摆杆的转动轴心到摆杆质心的长度，单位m; J摆杆对重心的转动惯量，单位(kg?m2); u电机对小车施加的作用力，单位(N); F小车所受的等效摩擦力，单位(N); b小车所受的等效摩擦系数，单位(N/m/s);
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2kg?mf摆杆所受的摩擦阻力矩系数，单位(
s);
首先，对小车进行受力分析，小车的受力分析如图2.4所示。
P u u M F
图2.4 小车隔离受力图
其中，N和P为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。其余字母同图2.3中的说明。图2．4中，N和P为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向分量，F为小车受到的作用力，x为小车位移，β为摆杆与垂直向上方向的夹角，θ为摆杆与垂直向下方向的夹角(考虑到摆杆初始位置为竖直向下)。
分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程:
d2x u?F?N?M2 （2-1）
dtF?bdx （2-2） dt其次，对摆杆进行受力分析，摆杆的受力如图2.5所示。
θ P
mg
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图2.5 摆杆受力分析图
d2N?m2(x?lsin?) （2-3）
dt即： N??cos??ml?2sin? （2-4）??ml??m?x
把这个等式代入上式中，就得到系统的第一个运动方程：得
??cos??ml?2sin??F （2-5） ??bx??ml?(M?m)?x为了推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析(图2．5)，可以得到下面方程：
d2p?mg?m2(lcos?) （2-6）
dt即：
??sin??ml??2cos? （2-7） P?mg??ml?
力矩平衡方程为
?? （2-8） ?Plsin??Nlcos??I?注意：此方程中力矩的方向，由于?故等式前面有负号。
为了推出系统的第二个运动方程，我们合并这两个方程，约去P和N，得到第二个运动方程：
????，cos???cos?，sin???sin?，
???mglsin???ml??cos? （2-9） (I?ml2)?x用U来代表被控对象的输入力F，则运动方程组为：
??cos??ml?2?u???bx??ml?x?(M?m)? ?2????cos?x?(I?ml)??mglsin???ml?设?????（?是摆杆与垂直向上方向之间的夹角)，假设?无限趋近于零，则可以进行近似处理：cos???1，sin????，(线性化后两个运动方程如下：
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d?2)?0，用u来代表被控对象的输入力F，dt2?????mgl???ml?x?(I?ml)? （2-10） ??????bx??ml??ux?(M?m)?对上式做拉普拉斯变换，得：
222??(I?ml)?(s)s?mgl?(s)?mlX(s)s （2-11） ?22??(M?m)X(s)s?bX(s)s?ml?(s)s?U(s)注意：推导传递函数时假设初始条件为0。由于输出为角度为Φ，求解方程组(2-11)的第一个方程，可以得到：
?(I?ml2)g?X(s)???2??(s) （2-12）
s??ml把式(2．12)代入方程组(2．9)的第二个方程，得到：
?(I?ml2)g??(I?ml2)g?2(M?m)??2??(s)s?b??2??(s)s?ml?(s)s?ml?(s)s2?U(s)
s?s??ml?ml整理后得到传递函数为
[18]
：
ml2s?(s)q （2-13） ?2U(s)b(I?ml)3(M?m)mgl2bmgls4?s?s?sqqq由于系统状态空间方程表达式为：
??Ax?Bu?x? （2-14） y?Cx?Du???解代数方程，得到解如下： x?，?方程组（2-14）对???x??x?222mgl(I?ml)????x??u22?I(M?m)?MmlI(M?m)?Mml? （2-15） ????????ml???mgl(M?m)????u22?I(m?M)?MmlI(M?m)?Mml?式2-15为直线一级倒立摆系统在平衡点附近局部线性化以后得到的状态方程。将该式写成矩阵形式可以得到系统的状态空间方程为[19]：
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