???0?x?????0x???????0????????0?????1?(I?ml2)bI(M?m)?Mml20?mlbI(M?m)?Mml20??0?20??I?mlm2gl2???2l(M?m)?Mml20???I(M?m)?Mml?u（2-16）
??01??0?mg(m?M)???0?ml2??l(M?m)?Mml2I(M?m)?Mml?????x?????x??1000??x?0??y????????u （2-17） ???????0010???0?????????由此可见，一级倒立摆实际上是一个单输人多输出的系统。只要将直线一级倒立摆的实际结构参数（M?1.096kg，L?0.250m，m?0.109kg，J?0.0034kg?m2，
2kgkg?m）代入上面两式，得： ??0.100s，f?0.0020s???0?x100??x??0??????00.08830.62930??xx???0.8832?????????u?????????0? ???0001??????????????0?0.235727.82850?2.3566??????????
对应系数矩阵为：
100??0?0??0?0.0883?0.62930.0047??0.8832??，B???， A???0?0?001??????00.235727.8285?0.2084???2.3565??1000??0?C??D?， ????0010??0?2.2直线一级倒立摆系统分析
在得到系统的数学模型之后，为进一步了解系统性质，需要对系统的特性进行分析，最主要的是对系统的稳定性、能控性以及能观性的分析。
竖直向上位置是直线一级倒立摆系统的不稳定平衡点，可以设计稳定控制器来使直
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线一级倒立摆系统稳定在这个点。既然需要设计控制器稳定系统，那么就要考虑系统是否能控。我们所关心的是系统在平衡点附近的性质，因而可以采用线性化模型来分析。
系统的稳定性分析一般可以应用李雅普诺夫稳定性判据。对于系统在平衡点邻域的稳定性可以根据系统的线性模型进行分析。在对时不变系统进行定性分析时，一般要用到线性控制理论中的稳定性、能控性和能观性判据。 2.2.1 系统稳定性分析
在经典控制理论中，对线性定常系统稳定性的概念是这样定义的：如果系统由于受到扰动作用而偏离了原来的平衡状态，当扰动去除后，如果能恢复到原来的平衡状态，则称该系统是稳定的，否则该系统是不稳定的。求解线性系统稳定性问题最简单的方法是求出该系统的所有极点，并观察是否含有实部大于零的极点(不稳定极点)。如果有这样的极点，则系统是不稳定的，否则系统是稳定的。
要得出传递函数描述的系统和状态方程描述的系统的所有极点，只需简单的调用MATLAB函数roots(den)或eig(A)即可，这样就可以由得出的极点位置直接判定系统的稳定性了。
在MATLAB中，将实际系统的模型参数M=1.096Kg，m=O.109Kg，b=0.1N／m／s， l=0.25m，I=0.0034kg·m·m代入式通过计算得到传递函数。仿真程序见下： M=1.096； m=0.109； b=0.1； 1=0.25； I=0.0034； g=9.8；
q=(M+m)*(1+m*l?2)-(m*1)?2； num=[m*l／q 0 0]
den=[1 b*(I+m*l?2)／q-(M+m)*m*g*l／q-b*m*g*l／q 0] G=tf(num，den)； Gl=ss(G)； eig(GI．a)
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t=0：0.005：5
impulse(num，den，t)； axis([0 1 0 60]) grid 结果如下： num=
2.3566 0 0 den=
1.0000 0.0883 -27.8285 -2.3094 0 ans= O
5.2727 -5.2780 -0.0830
因此，系统传递函数的表达式为：
?(s)2.3566s2?4 32U(s)s?0.0883s?27.8285s?2.3094s系统的开环极点为s1=0，s2=5．2727，s3=-5．2780，s4=-0．0830。由于有一个开环极点位于S平面的右半部，开环系统不稳定。 2.2.2系统可控性分析
所谓系统的可控性是指系统的状态是否能够被控制。对于一个线性定常系统（A,B,C）,其状态向量x属于n维实空间，即x?Rn。若对Rn空间中任意一个状态x(t0)状态与Rn空间中另任意一个状态x(tf)状态，存在一个有限的时间tf> t0及输入u(t0, tf),能在tf内使x(t0)状态转移到x(tf)，则系统叫做完全可控（简称可控）。可控性概念仅仅要求输入u能在有限的时间内，使系统由状态的任意一个状态转移到另一任意状态。没有规定转移的轨迹，也没有限制输入量的大小。如果系统至少有一个状态是不可控的，那么系统就是不完全控制的（简称不可控）。
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考虑线性定常系统的状态方程：x??Ax?Bu，x(0)?x0，t?0, 其中，x是状态向量，u是输入向量，A，B都是常数阵。可以根据矩阵A和B确定系统的能控性。
线性定常系统对于?t0?(0,?)完全能控的充要条件是下列命题中任何一个成立： （1） 矩阵e?At.B的行在[0,?）上线性独立。
（2） 对于任何t0, t0>0和t1?t0；如下定义的格兰姆矩阵非奇异：
t1Wc(t0,t1)??e0A(t0??)BBeTAT(t0??)d?
(3) Tc?[B,AB,?,An?1B],其中rank(B,AB,?An?1B)?n, (4) 矩阵(Si-A)?1B的行线性独立。
式(2-15)中n是系统的阶次。矩阵Tc称为系统的能控变换矩阵，该矩阵可以由MATLAB控制系统工具箱中的ctrb()函数自动产生出来。其调用格式为：Tc?ctrb(A,B)，可求出系统的能控矩阵：
?0?0.883223Tc?B,AB,AB,AB???0??2.3566??0.8832?0.07802.3566?0.2081?0.07801.4899?1.4899?0.2626?? ?0.208165.5978??65.5978?6.1429?Tc矩阵的秩rank(Tc)称为系统的能控性指数，它的值是系统中能控状态的数目。如果rank(T0)=n，则系统完全能控。
利用MATLAB可以求出rank(Tc)=4，即矩阵Tc满秩，可知系统可控，具体程序见附录。 2.2.3 系统可观测性分析
若一个n维线性定常系统的动态方程为：
??Ax?Bu?x? y?Cx?Du?其中A、B、C、D分别为n×n、n×r、m×n、m×r常数矩阵。
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若在有限时间[t0- tf]内，根据输出值y(t)与给出的u(t)，能够确定系统的初始状态x(t0)的每一个分量,则称此系统为完全可观测的。若系统中至少有一个状态变量是不可测的，则称此系统为不完全可测的。
系统的可观测性只取决于状态方程的A、C矩阵，可以构造一个变换矩阵T0：
T0?C,CA,?,CAn?1??T
上式中n是系统的阶次。矩阵T0称为系统的能观测变换矩阵，该矩阵可以由MATLAB控制系统工具箱中的obsv(A，C)函数自动产生出来。其调用格式为：
T0?obsv(A,C)
同理，可求出系统的能观测矩阵：
T0?C,CA,CA2,CA3??T??????????????10000000000?010??100??001?
?0.08830.62930???0.235727.82850?0.0078?0.05560.6293??0.0208?0.148327.8285??T0矩阵的秩rank(T0)称为系统的能观测性指数，它的值是系统中能观测状态的数目。如果rank(T0)=n，则系统完全能观测。由式子
.??x?Ax?Bu? 其中x(0)?x0,t?0 ??y?Cx?Du我们可知 rank(T0)=4，即矩阵乃满秩，系统可观测，具体程序见附录。 我们可以看出，一级倒立摆系统的能控性矩阵和能观性矩阵的秩均为4，所以系统是完全能控、完全能观的。
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