综上所述，可以得知直线一级倒立摆系统是一个不稳定且能控能观系统。 2.3 本章小结
本章应用Newton法建立直线一级倒立摆系统的动力学模型，推导了该系统的运动方程，求出了直线一级倒立摆系统传递函数模型及空间状态方程模型，并对系统的稳定性、能控性及能观性进行了分析，得出直线一级倒立摆系统是线性不稳定、完全能控、完全能观系统结论。
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第三章 直线一级倒立摆的稳定控制方案
3.1 倒立摆的稳定控制方案比较
模糊控制、神经网络控制、PID控制、状态反馈控制、最优控制等均可以用于倒立摆系统进行稳定控制，这些方法各具优缺点，下面对这几种控制方法进行比较分析[22]。 3.1.1 模糊控制算法
模糊控制系统的结构可以分为5个不同的部分：
（1）定义变量：包括模糊控制器的输入变量和输出变量。输入变量一般为误差E和误差变化率EC，输出变量为系统的控制量；
（2）模糊化：将输入变量以适当的比例转换到论域的数值；
（3）知识库：包括数据库和规则库。数据库提供必要的定义，规则库由语言控制规则描述控制目标和策略；
（4）逻辑判断：运用模糊逻辑进行模糊推理得到模糊控制信号；
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（5）解模糊化：将逻辑判断阶段得到的模糊控制信号变为实际的控制信号。模糊控制器是一种语言变量控制器，控制规则策略简单、直观，不需要复杂的推理计算，是解决倒立摆这类不确定性系统的一种有效途径。将模糊控制理论用于倒立摆系统中，仿真证明，控制效果并不理想，主要原因是模糊控制规则确定起来比较困难，控制规则不全，系统极易失控。 3.1.2 神经网络控制
人工神经网络是一个并行和分布式的信息处理网络结构，该网络结构一般由多个神经元组成，每个神经元有一个单一的输出，它可以连接到很多其它的神经元，其输入有多个连接通路，每个连接通路对应一个连接权系数。人工神经网络和生物神经网络一样，必须经过学习才能具有智能特性。人工神经网络的学习过程，实际上就是调节权值和阂值的过程。
人工神经网络控制有许多优秀控制特性：
（1）可以并行分布处理信息；
（2）具有学习功能，具有对输入数据归纳优化的功能； （3）不仅可以用于线性控制，也可以用于非线性控制； （4）具有较强的自适应能力。
虽然神经网络控制具有诸多优点，在对倒立摆系统进行控制时不是非常有效，这是因为：
（1）对于要满足什么样的条件才能实现非线性逼近的问题，讨论的很少，这一问题解决比较困难；
（2）研究建模算法和控制系统的收敛性和稳定性有很大的难度，一般的方法未必适用；
（3）目前的神经网络本身就存在一些不足，特别是在线学习难以满足要求。将模糊控制和神经网络控制相结合，提出了自适应神经模糊推理系统。自适应神经模糊推理系统(ANFIS，Adaptive Neural Network based Fuzzy Inference System)是一种将模糊逻辑(FL)和神经网络(NN)有机结合的新型的模糊推理系统结构，从功能上与模糊推理系统等价的自适应网络。自适应神经网络技术为模糊建模过程学习一个数据集的信息提供了一种方法，计算隶属度函数参数最好允许相关的模糊推理系统跟踪给定的输入／输
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出数据，根据样本数据自动调整前提参数和结论参数。 3.1.3 PID控制
当今的自动控制技术大多基于反馈的概念。反馈理论的要素包括三个部分：测量、比较和执行。PID控制的基本思想是：通过测量输出变量，与期望值相比较，用这个误差调节控制系统。PID(比例一积分一微分)控制是一种简单而又优秀的控制方法，关键是，在做出正确的测量和比较后，能更好地调节被控系统。PID控制器作为最早实用化的控制器己有50多年历史，现在仍然是应用广泛的工业控制器。PID控制器结构简单，使用中不需要精确的系统模型，因而应用最为广泛。
PID控制有其固有的优点：首先，PID控制本身应用范围广。虽然倒立摆模型是非线性的，但通过对其线性化可以变成线性系统，这样PID控制就可以运用到倒立摆系统中了。PID控制还可以应用于时变系统。另外，PID控制器参数比较容易整定。也就是，PID控制器的参数可以根据过程的动态特性及时整定。如果过程的动态特性变化，例如，倒立摆在稳定控制中，外界给摆杆一个扰动，就可容易对PID参数重新整定。
但PID控制也有其固有的缺点：PID控制在控制像倒立摆这样的非线性、强耦合及参数和结构不确定的控制对象时，控制效果不理想。 3.1.4 LQR控制算法
如果研究的系统为线性，所取的性能指标为状态变量与控制变量的二次型函数，那么这种动态系统的最优化问题，称为线性二次型问题。线性二次型最优控制问题的最优解可以由黎卡提方程求得，具有统一的解析表达式，且可以与输入构成一个简单的线性状态反馈控制律，容易计算和实现闭环反馈控制，成为最优控制理论及应用最成熟的部分。
最优控制理论主要是依据庞德犀亚金的极值原理，通过对性能的优化寻找可以使目标极小的控制器。其中线性二次型性能指标因为可以通过求解Riccati方程得到控制器参数，并且随着计算机技术的进步，求解过程变的越来越简便，因而在像倒立摆这样的线性多变量系统的控制器设计中应用很广。利用线性二次型性能指标设计的控制器称作LQR控制器。倒立摆系统的设计属于连续系统的二次型设计。
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R + ??Ax?Bu xy y?Cx?Du - K x
图3.1 最优控制方法系统图
线性二次型最优控制不仅易于设计，容易实现、具有工程性，最优控制的结果还可以应用于非线性系统，但是该非线性系统必须工作在小信号条件下的，用线性二次型最优控制方法计算和实现比非线性方法容易。线性二次型最优控制器还可以用于求解非线性最优控制问题。 3.2 本章小结
倒立摆的稳定控制由来已久，本章主要是提出了多种控制算法，如模糊控制、神经网络控制、PID控制等，并对各种方案进行比较分析。通过比较分析，我们可以看出上述方案各有优缺点。由于一级倒立摆系统比较简单，我们选择用PID控制算法来进行控制。下一章，我们着重介绍PID控制算法并对倒立摆进行仿真。
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第四章 直线一级倒立摆系统的PID控制
4.1 PID调节简述
PID调节又叫PID控制，是比例、积分、微分调节的简称。在自动控制的发展历程中，PID调节历史悠久、控制性能最强的基本调解方式。PID调节原理简单，易于整定，使用方便；按照PID调节功能工作的各类调节器广泛应用于工业生产部门，适用性较强；PID调节性能指标对于受控对象的特性的稍许变化不很敏感，这就极大地保证了调节的有效性；PID调节可用于补偿系统使之达到大多数品质指标的要求。直到目前为止，PID调节仍然是最广泛应用的基本控制方式[23]。
具有PID特点的调解器既可以作为控制器，叫PID控制器；也可以作为校正器，叫PID校正器。
PID校正是一种负反馈闭环控制器。PID调校正器通常与被控对象串联连接，设置在负反馈闭环控制的前向通道上。
若校正器与系统的前向通道或者前向通道的一部分构成负反馈闭环连接，这种校正
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