第四章 内积空间
第四章 内积空间 在第三章中，我们把n维Euclid空间Rn中的向量的模长推广到一般线性空间中去，得到了赋范线性空间的概念。但在Rn中可以通过两个向量的夹角讨论向量与方向的问题。这对仅有模长概念的赋范线性空间是做不到的。我们知道，Rn中向量的夹角是通过向量的内积描述的，因此在本章我们引入了一般的内积空间的概念。
4.1 内积空间的基本概念
首先回忆几何空间R3中向量内积的概念。设x?(t1,t2,t3)，y?(s1,s2,s3)?R，设x与y夹角为?，由解析几何知识可得
cos??3t1s1?t2s2?t3s3
x?y123212其中， x?(?tk)，y?(?sk)
k?1k?12令x,y??tksk，称为x与y的内积，不难证明它有如下性质：
k?13（1）x,y?0,?x?R3,且x,x?0?x??; （2）x,y?y,x,?x,y?R3;
（3）x1?x2,y?x1,y?x2,y,?x1,x2,y?R3; （4）?x,y??x,y,???R,?x,y?R3. 注：由定义可得x?x,x，我们看到，两个向量的夹角仅与向量的内积有关。利用内积我们可以讨论如向量的直交及投影等重要几何问题。
现在我们引入一般的内积空间的概念。
【定义 4.1】 设X为数域F上线性空间，若对任两个元素（向量）x，y?X，有惟一F中数与之对应，记为x,y，并且满足如下性质：
（1）x,y?0,?x?X,且x,x?0?x??; （2）x,y?y,x,?x,y?X;
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应用泛函分析(第二版)
（3）x1?x2,y?x1,y?x2,y,?x1,x2,y?X; （4）?x,y??x,y,???F,?x,y?X;
则称x,y为x与y的内积，有了内积的线性空间叫做内积空间，当F为实数域R（或复数域C），叫X为实（或复）内积空间。
注:由性质（3）与性质（4）知，内积运算关于第一变元是线性的。
由性质（2）与性质（4）可推知?x,y??x,y.于是当X为内积空间时，内积关于第二个变元也是线性的。而常称?x,y??x,y为共轭齐次性，因此在X为赋内积空间时，内积是共轭线性的。
今后讨论中不加注明时，恒设X为复内积空间。
【引理 4.1】（Schwaraz不等式） 设X为内积空间，对任意x，y?X，成立不等式
x,y?x,x?y,y 证明：若y??，则任x?X，有x,??0，则显然不等式成立。现在设y??，则???F，有
0?x??y,x??y?x,x??x,y??y,x??取???2y,y
x,yy,y代入上式可得x,x?x,yy,y2?0，由此可得
x,y?证毕。
x,x?y,y 【定理 4.1】 设X为内积空间，对任x?X，令x?x,x，则x是x的范数。
证明：因范数的前两条性质可直接由内积的性质推出，我们仅验证它满足第三条性质（即三角不等式）。事实上
x?y?x?y,x?y?x,x?x,y?y,x?y,y
?x?2x?y?y?(x?y)2
故有x?y?x?y.证毕。
注：常称x?222x,x为内积导出的范数，于是内积空间按此范数成为一个赋范线性空 2
第四章 内积空间
间。在此意义下，第二章关于赋范线性空间的有关内容都适用于内积空间。特别当内积空间X按由内积导出的范数完备的，称X为Hilbert空间。
以下介绍几个常用的Hilbert空间的例子。
例 4.1 Fn表示（实或复）Euclid空间，对于x?(t1,t2,类似于几何空间R3中向量的内积定义，令
x,y??tn?sn
k?1n,tn)，y?(s1,s2,,sn)?Fn，
不难验证Fn成为一个Euclid空间。 例 4.2 l?{x?(t1,t2,y?(s1,s2,2,tn):?tn??,tn?F,n?1,2,}，当x?(t1,t2,i?1n2,tn)，
,sn)?l2时，令
x,y??tn?sn
k?1?容易证明l2成为内积空间。以下证明l2为Hilbert空间。任取Cauchy列xn?
(n)(t1(n),t2,(n),tn)?l2，则对任??0,?N,当n,m?N时，有
xn?xm?(?tk?1?(n)k?t1(m)22k)??
因而有
(n)(m)tk?tk??(k?1,2,)
2?l?F是Cauchy列，因数域F完备，则存在sk?F(k?1,2,)，使 故数列{tk(n)}?n?1(n)limtk?sk，令x?(s1,s2,)，则任k?1,2,n??，当n,m?N时，有
2?ti?1k(n)i?t(m)2i?xn?xm??2
则令m??，对每个n?N及任k?1,2,k，有
2?ti(n)?si??2
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因而，亦有(?ti?1?(n)i?si)??，只要n?N，所以xn?x?l2，注意l2是线性空间，则x?
212(x?xn)?xn?l2，且xn?xm??，n?N，这即表明xn在l2中收敛，故l2为Hilbert空
间。
例 4.3 L2(E),E为有限或无穷区间，对任x?L2(E)，定义内积
x,y??x(t)y(t)dt
E这里L2(E)中的元素是实值或复值二次可积函数，也不难验证L2(E)是内积空间。现在证明L2(E)是Hilbert空间。
设xn?L2(E)为Cauchy列，则对每个k?1,2,xnk?xnk?1?，存在自然数nk，有
1(k?1,2,) 2k对任有限区间e?E,me??，由Holder不等式，有
?xEnk(t)?xnk?1(t)dt?(?xnk(t)?xnk?1(t)dt)?(?1dt)
EE12212?(me)12xnk?xnk?1?12kme(k?1,2,)
式中，me为e的长度。
故级数?k?1??xEnk(t)?xnk?1(t)dt收敛，于是由Levi引理（见第一章）我们有
??xk?1e?nk(t)?xnk?1(t)dt?lim??xnk(t)?xnk?1(t)dt
n??k?1enn ?lim??xnkt(?)xnk?1t(dt)
n??ek?1n ??lim?xnkt(?)xnk?1t(dt)
en??k?1 ???xnk(t)?xnk?1t(dt)
ek?1? 4
第四章 内积空间
从而知?xnk(t)?xnk?1(t)是集e上可积函数，则比在e上为处处有限函数，即级数在e上
k?1?几乎处处收敛，而e为E中任意有限区间，则级数?xnk(t)?xnk?1(t)在E上几乎处处收敛，
k?1?因而级数xn1(t)?(xn2(t)?xn1(t))?(xn3(t)?xn2(t))?在E上几乎处处收敛，亦即函数xnk(t)在
E上几乎处处收敛于函数x(t).
现在证明x?L2(x)，且limxn?x?0.
n??对任意??0，因{x}为L2(x)中Cauchy列，则存在N，当n,nk?N时，有
xnk(t)?xnk?1(t)??，即
?xen(t)?xnk(t)dt??2
2令k??，利用第一章Lebesgue积分的性质，得到
?exn(t)?xnk(t)dt??2,(n?N)
2即xn?xnk??，且xn?xnk?L2(E)，因此x?xn?(xn?x)?L2(E).因此Cauchy列xn在
L2(E)中收敛，故L2(E)是Hilbert空间。
（1） 内积的连续性。设limxn?x,limyn?y，则有
n??n??limxn,yn?limxn,limyn?x,y
n??n??n??证明：由Schwarz不等式，得
xn,yn?x,y?xn?x,yn?x,yn?y
?yn因收敛yn有界。证毕。
（2） 极化恒等式。对内积空间X中元素x与y，成立
12222x,y?(x?y?x?y?ix?iy?x?iy)
4xn?x?xny?y?0(n? )?证明可直接运用范数的定义和内积的性质得到。留给读者作为练习。
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