应用泛函分析(第二版)
Tx?(c1,c2,),?x?X
其中cn?x,en，n?1,2,.不难证明T是线性映射。
反之，任意l2中的元素c?(c1,c2,)，一般情况下，不一定存在X中元素x，使
cn?x,en，n?1,2,，但在X完备时，有以下定理。
【定理4.6】（zseRirhesFi?） 设{en}?n?1是内积空间X中一个标准直交系，则对任意
，且成立等式
c?(c1,c2,)?l2，惟一存在x?X，使cn?x,en，n?1,2,?cn?x
n?1?22证明：令sn??ckek，因为sn?smk?1n2?k?n?1?mck，由于级数?cn收敛，则根据Cauchyn?12?2收敛准则，有
limsn?sm?lim(?ck)?0
n??n??m??k?n?1m212故sn是完备空间X中一个Cauchy列，则存在x?X，有
x?limsn??cnen
n??n?1?现在设k为任意自然数，则
x,ek?limsn,ek?limn??n??2?2??ce,eiii?122nk?ck
再注意sn??cn，令n??，即得等式?cn?x.
k?1n?1最后证明惟一性。若y?X，也满足定理结论
cn?y,en，且?cn?y
n?1?22则因y?sn?y?sn（由定理4.3），令n??，推得sn?y.由极限的惟一性，必y?x.证毕。
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第四章 内积空间
注：在X为Hilbert空间时，可确定一个有l2到X内的映射。但在一般情况下，不能断定映射是满射。因此不一定为由l2到X上的一一映射。
在n维Euclid空间中，标准直交基（直角坐标系）的极大性是至关重要的，对此我们有如下推广。
【定义4.7】 设{en}?若对任意x?X，有x,en?0，n?1是内积空间X中一个标准直交系，
n?1,2,，则必x??，我们就称{en}?n?1是完全的。
如例4.2中的标准直交系是l2中一个完全的标准直交系。 【定理4.7】（zserRiehsFi的命题等价：
（1）{en}?n?1是完全的；
（2）对任意x?X，成立Parseval等式x??cn，其中cn?x,en，n?1,2,n?12?2?） 设{en}?n?1是Hilbert空间X中一个标准直交系，则一下
；
（3）对任意x?X，有x??cnen，其中cn?x,en，n?1,2,n?1?；
（4）对任意两个元素x,y?X有
x,y??x,en?y,en
n?1?证明：（1）?（2）.设{en}?n?1是完全的，对任意x?X，记cn?x,en，n?1,2,，则
由定理4.5知c?(c1,c2,)?l2，再由定理4.6知，惟一存在y?X，使得cn?y,en且成立
y??cn.因为x,en?y,en，n?1,2,n?12?22?2，则x?y,en?0，n?1,2,.由于{en}?n?1是完
全的，于是必有y?x，因此有x??cn，命题（2）成立。
n?1（2）?（3）.现在假设命题（2）成立，任意取x?X，令cn?x,en，n?1,2,sn??ckek，则有
k?1n，
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应用泛函分析(第二版)
x?snn2?x??cn?0(0??)
k?12n2即得lim?ckek?x，于是命题（3）成立。
n??k?1（3）?（4）.现在假设命题（3）成立，任意取x,y?X，令cn?x,en，dn?y,en，则有x?lim?ckek，y?lim?dkek.于是可得
n??k?1n??k?1nnx,y?limn???ce,?dekkk?1k?1nnkk?lim?ckdk??cndn
n??k?1n?1n?即命题（4）成立。
（4）?（1）.现在假设命题（4）成立，取x?X，若x?en，n?1,2,?，此时任取y?X，
有x,y??x,en?y,en?0，即x?X，故x??，因此命题（1）成立。证毕。
n?1注：若Hilbert空间X存在的标准直交系{en}?n?1，则任意x?X，有cn?x,en，
n?1,2,.映射Tx?(c1,c2,)?l2是由X到l2上的一个等距同构映射，故X与l2的等距同
构。
以下的定理在判别某标准直交系的完全性时是经常有用的。
【定理4.8】 设{en}?如果Parseval等式在X中n?1是Hilbert空间X中一个标准直交系，某稠密子集D上成立，则{en}?n?1是完全的。
证明： X0?span{en}?n?1，则X0是X的闭线性子空间。任x?D，令cn?x,en，
n?1,2,，则由假设成立x??cn，同定理4.7（2）?（3）之证明得x?lim?ckek，
n?1n??k?12?2n故x?X0.于是D?X0.因X0是闭集，则X?D?X0?X0，即得X?X0.由X0定义，任
x?X0?X，有x??cnen?lim?ckek，且cn?x,en，n?1,2,n?1n??k?1?n.因此由定理4.7命题（3）
成立推得则{en}?n?1是完全的。证毕。
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第四章 内积空间
例 4.7 L2[0,2?]中三角函数系是完全的。
{111,cost,sint,2???,1cosnt,1sinnt,}
??a0n 因为取D在L[0,2?]中稠密。对任意三角多项式Tn(t)???(akcoskt?bksinkt)不难
2k?12验证成立Parseval等式。
根据定理4.7，对任意x?L2[0,2?]，其中Fourier级数
a0???(ancoskt?bnsinkt) 2n?1依范数收敛于x.但这并不能推知每个t?L2[0,2?]，有
a0?x(t)???(a0coskt?b0sinkt)
2n?1由线性代数及解析几何的知识，我们知道直交组比一般的线性无关组的性质更为优越，若某向量可用标准直交组线性表示，其组合系数有内积容易求出，十分方便。
以下介绍一个得到标准直交系的常用的方法。对内积空间X中已知的某线性无关序列
{xn}?n?1，通过Gram?Schmidt标准直交化过程可获得一个标准直交系。其过程如下：
第一步，把x1标准化，令
e1?x1 x1第二步，记X1?span{e1}?span{x1}.由定理4.4得知，x2在X1上的投影为x2,e1e1，由投影定理，记x2?x2,e1e1?y2，则y2?e1.因为x2，e1线性无关，则y2??，此时令
e2?y2 y2不难看出有span{e1,e2}?span{x1,x2}.
{n1,e2}e也由定理4.4得知，x3在X2上的投影为第三步，记X2?spa，
x3??x3,ekek?y3，则y3?ek，k?1,2.因为x3，x3,e1e?x3,e2e，依据投影定理，记12k?12 19
应用泛函分析(第二版)
e1，e2线性无关，则y3??，此时令
e3?y3 y3且易知span{e1,e2,e3}?span{x1,x2,x3}.
于是归纳有第n步，记Xn?1?span{e1,e2,n?1,en?1}，同样由定理4.4得知，xn在Xn?1上
n?1的投影为?xn,ekek，并根据投影定理，记xn??xn,ekek?yn，则yn?ek，k?1,2,k?1k?1n?1，
又因为xn，e1，e2,,en?1线性无关，则y3??，此时令
en?yn yn则易知span{e1,e2,,en}?span{x1,x2,,xn}.
于是以上程序无限进行下去，即得一个标准直交系{en}?n?1.
由定理4.7后面的注得知具有可列的完全的标准直交系的Hilbert空间与l2等距同构。因l2是可分的（即存在有限或可列稠密子集），则X也是可分的。相反地，我们有如下定理。
【定理4.9】 设X是Hilbert空间，则
（1） 若X是可分的，则X必有至多可列的完全的标准直交系；
（2） 设X是无限维的可分空间，则X的每个完全的标准直交系都是可列集。 证明： 由于X存在有限或可列（也称为至多可列）个元素{xk}，使span{xk}?X，且不妨设{xk}为线性无关集合。由Gram?Schmidt标准直交化程序，可构造出对于{xk}的（等势的）标准直交系{ek}.当X为n维内积空间时，则有span{e1,e2,故有
xk?span{e1,e2,,en}(k?1,2,)
,en}?span{x1,x2,,xn}，
从而有
X?span{x1,x2,,xn}?span{e1,e2,,en}
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