应用泛函分析(第二版)
读者利用定理4.19很容易证明投影算子的如下性质：
（1）设P1:X?M1,P2:X?M2是两个投影算子，则P?P1?P2为投影算子的充要条件是
M1?M2，此时P是X?M1?M2的投影算子。
（2）设P1:X?M1,P2:X?M2是两个投影算子，则P1P2为投影算子的充要条件是
P1P2?P2P1，此时P是X?M1?M2的投影算子。
现在引进另一类特殊的自共轭算子正算子。
【定义4.11】设X是Hilbert空间，T是X上自共轭算子，若对?x?X，有Tx,x?0。则称T为正算子。记为T??。
注：（1）通过正算子的概念，我们可对自共轭算子类引进一种序，设T1，T2是自共轭算子，若T1?T2??，则记T1?T2（注意 T1，T2不必是正算子）。
（2）对X上的任何有界线性算子T，TT?及T?T都是正算子，这是因为
T?Tx,x?Tx,Tx?0，TT?x,x?T?x,T?x?0
（3）若T1,T2是正算子，?,?是两个非负实数，则?T1??T2也是正算子。 （4）若T是正算子，则成立广义Schwarz不等式即
Tx,y2?Tx,x?Ty,y
证明可参见Schwarz不等式的证明过程，利用T?x??y?,x??y?0展开，把他留作习题。
【定理4.20】 设Tn为自共轭算子，若Tn?Tn?1?n?1,2,??，且有常数M?0，使
supTn?M，则存在自共轭算子T，满足?Tn?强收敛于T，即x?X，有
nlimTnx?Tx
n??证明：对每个x来证数列?Tnx,x?收敛，事实上，对m?n，有
Tmx,x?Tnx,x??Tm?Tn?x,x?0
且 Tnx,x?Tnx?x?Mx
所以?Tnx,x?是单调上升的有界数列，于是limTnx,x存在。
n??2接下来证明?Tnx?是X中Cauchy列。从前面注中的关于正算子的广义Schwarz不
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第四章 内积空间
等式应用于Tm?Tn?m?n?得
?Tm?Tn?x,y2??Tm?Tn?x,x?Tm?Tn?y,y
2?2M?Tmx?,x?Tnx,x??y
因此
Tmx?Tnx?sup?Tm?Tn?x,y2y?12?2M?Tmx,x?Tnx,x?
又从前面证得limTnx,x存在，在上式中令m,n??，则
n??Tmx?Tnx?0?m,n???
2故?Tnx?是Cauchy列，由X完备性知limTnx存在，定义T:X?X为Tx?limTnx。显然
n??n??T是线性算子，且Tx?supTn?x?Mx，说明T是有界算子，再注意到Tnx,x是实数，
n因此Tx,x?limTnx,x也是实数，所以T是共轭算子。
n??注：定理4.20对单调减算子结论依然成立，即条件改为Tn?1?Tn?n?1,2,??,supTn?M。
n【定义4.12】 设T为正算子，SS?TSTS?T
【定理4.21】设T是Hilbert空间上的正算子，则必惟一存在平方根算子S。 证明：因正算子满足?T???
2120?Tx,x?T?x
于是0?T2x,x?x TTx,x?0 T2所以Ix,x?可见0?T?I，不失一般性，设0?T?I，记B?I?T，则B是正算子，构造迭代 TBn?12B?Bn?1?B0??,n?1,2,?? ??? 2??通过数学归纳法来证明?Bn?是单调上升的自共轭算子，且Bn?1。当n?1时，
B1?11B,B1?B0?B且B1?1，因此B1,B1?B0均是正算子B的非负系数多项式，假定结22论对n成立，即Bn,Bn?Bn?1均是正算子B的非负系数多项式，且Bn?1因为
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应用泛函分析(第二版)
1?Bn?Bn?1??Bn?Bn?1?，因此由归纳假设Bn?1?Bn也是正算子B的非负系数多项212式，且Bn?1?B?Bn?1，故Bn?1?Bn??。这样?Bn?是单调上升的自共轭算子（事
2Bn?1?Bn???实上也是正算子）。于是由定理4.20，存在自共轭算子A，使Bn?A，由于对每个
x?X,Bn?Ax??A2x,A?Bnx??A2x，因此BnAx?ABnx??。于是有
22Bnx?A2x?Bnx?BnAx?BnAx?ABnx?ABnx?A2x
?Bn?Bn?Ax?BnAx?ABnx?ABnx?A2x
22x?A2x，即Bn?A。在???两边取极限得 故BnA?1B?A2 2??再令S?I?A及B?I?T，得S2?T。这便证明了平方根的存在性。下面证惟一性。设另有正算子S1，使S12?T，显然S1T?TS1?S13，因此S1与T可交换，根据前面的证明知道，S与S1亦可交换（S与所有与T可交换的算子可换）。
对x?X，令y??S?S1?x，则
0?Sy,y?S1y,y?S2?S12x,x?0
因此，Sy,y?S1y,y?0，又S都是正算子，由前面证存在算子G，使G2?S，于是
??0?Sy,y?G2y,y?Gy
即Gy??,则Sy??.同理S1??.
2TT12x,x?T1T2x,T1x?TTx,TTx?01212112221112221.
从而 ?S?S1???S?S1?y,x??,x?0 故 Sx?S1x
注：从前面的证明中可见,的平方根算子与所有与可交换的算子可换. [推论4.4]若T1,T2是正算子且T1与T2可换,则T1T2也是正算子. 证明：
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2第四章 内积空间
TT12x,x?T1T2x,T1x?TTx,TTx?0
下面介绍Hilbert空间上的一类等距同构算子——酉算子.
[定义4.13]设X是Hilbert空间,T:X?X是满线性算子,如果Tx?x,则称T是酉算子.
[定理4.22]T为酉算子的充要条件是
T?T?TT??I
证明：必要性.设T为酉算子,由Tx?x得Tx,Tx?x,x 于是由极化恒等式有
1Tx,Ty??4?1?4?1??4?1?4?1212112221112221T?x?y?,T?x?y??T?x?y?,T?x?y????T?x?iy?,T?x?iy??T?x?iy?,T?x?iy???x?y,x?y?x?y,x?y???x?iy,x?iy?x?iy,x?iy??
?x,y因此T?Tx,y?x,y,?x,y?X,这说明T?T?I.又T是一对一满射,由逆算子定理T?1存在,故T??T?1,从而TT??I.
充分性.由TT??I知T是满射.又T?Tx,x?x,x得Tx?x,即Tx?x 注：?1?当X????时,酉算子T的范数T?1.
22?2?设?Tn?是一列酉算子,且Tn一致T?n???,则T也是酉算子.(这两个基本结论留为
习题,由同学自己推导.)
下面举一个X?L2?R?上的Fourior正.逆变换的例子,来说明酉算子的重要性. 例4.9 X?L2?R?表示定义在???,???上取复数值的Lebesgue平方可积函数空间,赋予内积
f,g??????f?t?g?t?dt
构成一个Hilbert空间,如果f?L2?R?,那么
itsf?s??L2?R?
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应用泛函分析(第二版)
[这是因为
itsf?s??f?s?因此
?Tf??t??和
12?????its??f?s?dt
1?Sf??t??2????its??f?s?dt
都有意义.]
通过第1章的知识可以验证T,S:L2?R??L2?R?且TS?ST?I,S?T??T?1 ,T?S??S?1,即T,S都是酉算子,通常把T称为Foureir正变换,S称为Foureir逆变换.
习题4.6
1.设X是Hilbert空间,M1,M2是X的两个闭子空间,P2:X?M2是两个1:X?M1及P投影算子.证明：
?1?P?P1?P2是投影算子的充要条件是M1?M2； ?2?若P?P1?P2是投影算子,那么P?X??M1?M2；
?3?P?PP12是投影算子的充要条件是PP12?P2P1且P?X??M1?M2； ?4?P?PP12为零算子的充要条件是M1?M2；
?5?若PP1?P2?PP12也是投影算子,且P?X??M1?M2. 12?P2P1,那么P?P2.若T是Hilbert空间X上的正算子.证明：对任何自然数n,Tn也是正算子. 3.若T是Hilbert空间X上的正算子,证明如下的广义Schwarz不等式：
Tx,y2?Tx,x?Ty,y??x,y?X?
4.设X是Hilbert空间,且X????,若T是X上的酉算子,证明T?1.
5.设X是Hilbert空间,Tn?L?X,X?是一列酉算子,T?L?X,X?,若
Tn?T?0?n???,证明：T也是酉算子.
6.X?L2?R?表示在???????上取复值的Lebesgue平方可积函数空间,证明：如下的
Fourier正变换算子T及逆变换算子S均为酉算子,这里
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第四章 内积空间
1?Tf??t??2??????its??f?s?ds,f?L2?R?
?Sf??t??
12????its??f?s?ds,f?L2?R?
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