第四章 内积空间
即T1T2自共轭，反之
T1T2??T1T2??T2?T1??T2T1
?注：从定理4.13的性质（2）可以看出，自共轭算子组成L?X,X?的一个实线性子空间，而且从下面的定理近一步得知，这个子空间在算子的一致收敛和强收敛下均是闭子空间。 【定理4.14】设?Tn?是一列自共轭算子，T?L?X,X?。若对每个x?X，有Tnx?Tx，则T是自共轭算子。
证明：对?x,y?X，由Tnx?Tx及内积的连续性得
Tx,y?limTnx,y?limx,Tny?x,Ty
n??n??故 T?T?
【推论4.3】设?Tn?是一列自共轭算子，T?L?X,X?，且Tn?T?0，则T也是共轭的。 证明：由算子的一致收敛可推出算子的强收敛，再由定理4.14可证得此推论成立。 【定理4.15】自共轭算子的每个谱点都是实数。
证明：设????i????0?，来证????T?，则??I?T??L?X,X?。对每个x?X,Tx,x是
?1实数，于是
??I?T?x?x???I?T?x,x??x,x?Tx,x
2 ??x,x?Tx,x?i?x,x???x ??? 可见算子S??I?T是一对一的，下面证S的值域S(X)是闭的。 设yn?S?x?,yn?y，于是有yn?Sxn???I?T?xn,xn?X。 由式???得
yn?ym???xn?xm
因此?xn?是Cauchy列，而X完备，故存在x?X，使xn?x。根据S的连续性，有
y?limSxn?Sx，即y?S?x?。这样由投影定理X?S?x??S?X?得知，为证S?X??X，仅
?n????。若不然，设y0?S?X??，但y0??。因为??I?T?y0?S?X?，那么 需证S?x?????y0?Ty0,y0?0
亦即Ty0,y0??y0。注意到T是自共轭算子，等式左边是实数，而等式右边是复数，矛
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2应用泛函分析(第二版)
盾。故S?X??X，这说明S是X上一对一满设。因此由Banac逆h算子定理
S?1???I?T??L?X,X?，即????T?。
?1 从定理4.15可见自共轭算子的谱集是实数轴上的一个有界闭集，下面的定理4.16进一步说明谱集的范围。
【定理4.16】 对于自共轭算子T，令
m?infTx,x,M?supTx,x
x?1x?1则：
（1）T?max?m,M?；
（2）??T???m,M?且m,M???T?。
证明：记A?max?x,M?，对于x?1，有Tx,x?T，于是?T?m?M?T，即A?T。 另一方面，对任何??0可直接验证下面等式成立：
Tx?于是得
2?1??1111???????????T?x?TX,?x?Tx?T?x?Tx,?x?Tx??????
4??????????A?11Tx???x?Tx??x?Tx4????222?A?2212?????x?Tx? 2?2????设x??特别取?2?Txx，则
Tx?ATx?x，即Tx?Ax
故T?A，因此T?A。
2??R??m
??I?T?x?x???I?T?x,x??x,x?Tx,x??m???x
2仿定理4.15之证，得????T?。同理，若??M可得????T?。这样??T???m,M?下面来证M???T?（类似可证，m???T?）。 注意到
inf?mI?T?x,x?m?supTx,x?m?Msup?mI?T?x,x?0
x?1x?1x?1得mI?T?M?m
可取列?xn?使得x?1，且?mI?T?xn,xn?m?M。又
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第四章 内积空间
?MI?T?xn222?Mxn?Txn,Mxn?Txn??mI?T?xn??M?m?xn,?mI?T?xn??M?m?xn2
??mI?T?xn?2?M?m??mI?T?xn,xn??M?m??mI?T?2?M?m??mI?T?xn,xn??M?m???M?m??2?M?m??mI?T?xn,xn??M,m?222
?2?M?m??2?M?m??022故MI?T不存在有界线性逆算子，若不然，则由
1?xn2??MI?T??MI?T?xn
?12 ??MI?T??1??MI?T?xn2?0
得出矛盾。
就一般而言，自共轭算子未必有特征值，但当算子是紧自共轭时，特征值一定存在。 【定理4.17】设T是紧自共轭算子，那么T有特征值。
证明：如果T是零算子，则结论显然。现设T??（零算子）。不失一般性，设M?m，则T?M，由M,m之定义，此时M?0。取xn?X且xn?1，使Txn,xn?M?T。因
T是紧算子，那么?Txn?有收敛子序列。设Txn?y，因为
kTxnk?Mxnk?Txnk22?Txnk?Mxnk,Txnk?Mxnk ?2MTxnk,xnk?M2
2?T?2MTxnk,xnk?M2?0
则 xnk?11Txnk?Txnk?Mxnk?y0 MM?????1?y0??limTxnk?y0，即Ty0?My0。因xnk?1，则y0??，所以M是T的特所以T??M?k??征值。
结合第3章关于紧算子的Riesz?Schauder理论，如果T是自共轭算子，那么T的谱集将十分简单，即存在一组互不相同的非零实数??i?（有穷或可列），每个?i是T的特征值，使
??T???0,?1,?2,??。记pi?dimN??iI?T?，即pi为算子T对应特征值?i的特征子空间的维数，?eij?j?1为该子空间的规范正交基，则若x?X可以展成
pix???x,eijeij
ij?1pi 33
应用泛函分析(第二版)
则Tx???x,eijeij。
ij?1pi习题4.5
1在R2?R2中举例说明线性算子T满足T2?T，但T不是自共轭算子。
2设T是Hilbert空间X上的自共轭算子，证明：对任何偶自然数n都有Tnx,x?0?x?X?。 3设X?C2（二维酉空间），x??t1,t2??X定义算子T:X?X为
Tx??t1?it2,t1?it2?求T?，并证明T?T?TT??2I。
4设X是Hilbert空间，称T?L?X,X?为正规算子，是指T?T?TT?。证明：如果T 是自共轭算子，则T是正规算子，请举例说明T是正规算子，但T却不是自共轭算子。 5设X是Hilbert空间，T?L?X,X?，证明：T为正规算子的充要条件是存在两个自共轭算子A，B且AB?BA，使T?A?iB。
6设Tn是Hilbert空间X上一列正规算子，T?L?X,X?，若Tn?T?0?n???，证明：T为正规算子。
7若T是Hilbert空间X上一个正规算子，证明：T2?T。
24.6 投影算子 正算子和酉算子
利用投影定理我们引进投影算子的概念，投影算子也是一类非常重要的自共轭算子。
【定义4.10】 设M是Hilbert空间X的一个给定的闭子空间，则对?x?X， 由投影定理，存在惟一的垂直分解x?u?v,其中u?M,v?M?。定义算子 P:X?M为
Px?u?x?X?，并称P为由X到M上的投影算子。
注：根据投影算子的定义，对每个投影算子P，惟一对应一个闭子空间M，使
P:X?M，为清楚起见，有时记P为PM。
【定理4.18】
（1）投影算子P是有界线性算子。
??时，P?1。 （2）当M??（3）Px???x?M?;Px?x?x?M。 （4）P2?P即P是幂等算子。
证明：对任意?1,?2及任意元素x1,x2?X，有
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第四章 内积空间
x1?Px1?v1,x2?Px2?v2
由于M，M?都是线性子空间，那么
?1Px1??2Px2?M,?1v1??2v2?M?
故?1x1??2x2???1Px1??2Px2????1v1??2v2?。因此P??1x1??2x2???1Px1??2Px2 即P是线性算子。另一方面，由x?Px?u说明P是有界的。
222得?x?Px?u,Px?u?，
即p?1，Px?x，
??，取x0?M,x0??，由P的定义有Px0?x0，于是x0?Px0等价于 因M???x0??P??x??1 ?0?因此，P?supPx?1，得P?1。
x?1定理4.18之性质（3），性质（4）由P的定义显然成立。
【定理4.19】P为投影算子的充要条件是：（1）P是自共轭算子；（2）P是幂等，即
P2?P。
证明：设P是投影算子，则条件（2）自然成立，仅需证明P是自共轭算子，对任意
x,y?X，记
x?Px?v1,y?Py?v2,Px,Py?M,v1,v2?M??P:X?M?
于是
Px,y?Px,Py?v2?Px,Py,x,Py?Px?v1,Py?Px,Py
故Px,y?x,Py，因此P?P?。
反之，设条件（1），设条件（2）成立，来证明P是某一闭子空间M上的投影算子。记M?P?x?（算子P的值域），显然M是X的子空间。我们来证M是闭的。
设yn?M,yn?y0，取xn?X使Pxn?yn，根据条件（2）P2xn?Pxn?Pyn?yn，再由P的连续性，得Py0?y0。故y0?M。对?x?X，来证x?Px?M?。事实上由条件（1）和条件（2），对任何v?Py?M，有
x?Px,Py?P?x?P?Px,y?Px?P2x,y??,y?0
可见x?Px?M?，特别x?Px?Px且x?Px??x?Px?，即P是X?M的投影算子。
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