第四章 内积空间
d2?d2?(x?x0,y)y22
于是推得x?x0,y?0，再注意y??，此式也成立，因而x?x0?M?.令z?x?x0，即有x?x0?z.投影的存在性得证。
投影的惟一性已由定义4.3的注得证。证毕。
注：（1）X为hilbert空间时，则对任闭集子空间M?X投影定理成立。
（2）表达式x?x0?z也常称为元素x的直交分解，故投影定理也叫做直交分解定理，是R2中向量的直交分解的推广。由于在一般赋范线性空间中没有直交概念，因此不能讨论直交分解的问题。
（3）对于hilbert空间X及子闭空间M，在投影定理条件下有
X?M?M?
即X表示为两个直交子空间的直和，常称X为M与M?的直交和，或直交分解。
投影定理在内积空间理论中是极为重要的基本定理。由于投影x0?M，就是元素x?X在子空间M中的最佳逼近元，因此在现代逼近论，概率论以及控制论中许多问题都可以抽象为如下的数学问题。
设X是内积空间，且x,x1,x2,n,xn?X，问是否存在n个数?1，?2，,?n，使得
,xn}.并且一般假设x,x1,x2,x???ixi?infx?y，其中M?span{x1,x2,i?1y?M,xn线性无关。
由于M是一个n维赋范线性空间，故M完备，则由投影定理，对于x?X，必惟一存在x0???ixi?M，使x?x0?infx?y.
i?1ny?M现在我们给出求解x0的方法，因xi?M,1?i?n，则由投影定理，我们有
x???ixi,xk?0,(1?k?n)
i?1n即得线性方程组
??i?1nixi,xk?x,xk,(1?k?n)
11
应用泛函分析(第二版)
记其系数行列式为?n.因为方程组已知有惟一解，故?n?0，并且可计算出?i,1?i?n. 最后，我们再给出投影定理的两个推论。
【推论 4.1】 设M是Hilbert内积空间X的真闭线性子空间，则M?中必有非零元素。 证明：由题设M?X，则存在x?X?M.由投影定理得知，存在x0?M，x?M?，使得x?x0?z，于是必z??，否则x?x0?M，与之矛盾。证毕。
【推论 4.2】 设M是Hilbert内积空间X的真闭线性子空间，则M?(M?)?.特别当
M??{?}，则M在X中稠密。
证明：由性质（8），(M?)?是X中真闭线性子空间，因X完备，则(M?)?完备。显然，有M?(M?)?，于是M?(M?)?。同样得知M也完备。如果M?(M?)?，于是关于
M?(M?)?，应用推论4.1，存在非零元素x?(M?)?，且x?(M?)??M?，故x,x?0，
从而x??，矛盾。从而必有M?(M?)?，证毕。
习题 4.2
1. 设X是实内积空间，若x?y?x?y，则x?y.问X是复内积空间时，结论是否成立？
2. 证明：内积空间X中的两个元素x,y直交的充要条件是对任意数??F，成立
222x??y?x.
3. 设x,x1,x2,无关。
4. 设X是内积空间，x,y?X，则x?y?对任意??F，有x??y?x??y. 5. 设X是hilbert空间，M是X的子集，求证(M?)?是包含M的最小闭子空间。 6. 设X是hilbert空间X中非空子集，求证：spanM?X?M??{?}.
,xn是内积空间X中两两直交的非零元素组，求证：x,x1,x2,,xn线性
12
第四章 内积空间
7. 设M为hilbert空间L2[?1,1]中全体偶函数的集合： （1） 求证M?是L2[?1,1]中全体奇函数。 （2） 任意x?L2[?1,1]，求x在X上的投影。
8. 设X为hilbert空间，元素列xn?X且两两直交，求证：级数?xn收敛?数值级
i?1?数?xni?1?2收敛。
9. 证明：直交性质（1）-（5）. 10. 设x,x1,x2,
,xn是内积空间X中两两直交元素组，求证：
?xk?1n2k??xk.
k?1n24.3 直交系
返照R2中情况，在内积空间引入直角坐标系的概念。
【定义 4.5】 设M是内积空间中一个不含零元的子集，若M中任意两个不同元素都直交，则称M为X的一个直交系。又若M中每个元素的范数都是1，则称M为标准直交系。
注：为了简单起见，我们仅讨论至多含可列个元素的直交系，因为对不可列情况，在方法上同可列情况并无本质的区别。
例 4.4 在（实或复）Euclid空间Fn中
e1?(1,0,0,,0),e2?(0,1,0,,0),,en?(0,0,0,,0,1)
是一个标准直交系。
例 4.5 在内积空间l2，以下元素列是一个标准直交系
en?(0,,1,0,)
13
应用泛函分析(第二版)
其第n个分量是1，其余分量都是0，n?1,2,.
例 4.5 在实内积空间L2[0,2?]中，若定义内积为
x,y??2?0x(t)y(t)dt
则三角函数系
111,cost,sint,2???,1cosnt,1sinnt,??
是L2[0,2?]的一个标准直交系。
【定义 4.6】 设{en}?对任x?X，称cn?x,en为n?1是内积空间X中一个标准直交系，元素x关于en的Fourier系数，常简称为x的Fourier系数。于是有形式级数?cnen，称为
n?1?元素x关于{en}?n?1可以展开为Fourier级数。
注：一般情况下，Fourier级数不一定收敛。即或收敛，也不一定收敛于x.在什么条件下元素x可以展开为Fourier级数的问题自然是重要的。
【定理4.4】 设{en}?n?1是内积空间X中一个标准直交系，记
Xn?span{e1,e2,n,en}
对任意给定x?X，则x在Xn上的投影是sn??ckek，即sn是在Xn内的最佳逼近元。
k?1?证明：因x?sn?(x?sn)，由于sn?Xn，则只须证明x?sn?Xn.由4.2性质（9），又仅
须证x?sn?en,k?1,2,n,n.于是由x?sn,ek?x,ek??ce,eiii?1nk ?0，知结论成立。证毕。
注：任意??kek?Xn，任x?X，成立
k?1x?sn?x???kek
k?1n【定理4.5】（Bessel不等式） 设{en}?n?1是内积空间X中一个标准直交系，则对任意
x?X，成立Bessel不等式
14
第四章 内积空间
?cn?x
n?1?22其中，cn?x,en,n?1,2,.
n证明：已知sn?(x?sn)，其中sn??ckek，则由勾股定理得
k?1x?sn?x?sn222?sn
2??ckekk?1n2??ckekk?1n2??ck
k?1n2令n??，得结论成立。证毕。
注：Bessel不等式指元素x在每个en上投影cnen的范数的平方和不大于x的范数；由此知?cn为收敛级数，于是推得事实
n?1?2limcn?0
n??特别对内积空间L2[0,2?]关于标准直交系三角函数系（见例4.3），对任意x?L2[0,2?]，其Fourier系数为
c1??c2n??x(t)02?2?01?12??x(t)dt?x(t)dt?a0 ?0?2?2211?1cosntdt????2?0x(t)cosntdt??an(n?1,2,)
c2n?1??x(t)02??sinntdt????12?0x(t)sinntdt??bn(n?1,2,)
其中an,bn即通常的Fourier系数，则由Bessel不等式，得
a02222??(an?bn)?n?1?1??2?0x(t)dt
2注意这里用了收敛正项级数的可交换性。
在内积空间X给定标准直交系{en}?n?1情况下，x?X，其对应的Fourier系数构成一个序列c?(c1,c2,)?l2，并确定了由X到内积空间l2内的一个映射T为
15