应用泛函分析(第二版)
间的情形，可得T的共轭算子T?:Y?X由(aij)m?n的转置共轭矩阵(aij)m?n表示。
以下定理说明了一般情况下共轭算子的存在性。
【定理4.11】设X是Hilbert空间，Y是内积空间，则对任意有界线性算子T:X?Y，必惟一存在共轭算子T?。
证明：对任意取定y?Y，确定了X上线性泛函f(x)?Tx,y，其中x?X。因
f(x)?Tx,y?y?Tx?y?T?X,?x?X
则f?X?，且f?T?y。由Riesz定理，惟一存在z?X有
Tx,y?x,z,?x?X
我们得到了算子T?:Y?X为T?y?z，且f?z。使对任意的x?X,y?Y，有
Tx,y?x,T?y。
现在证明T?是由Y到X的有界线性算子。任意取复数?1,?2及元素y1,y2?Y，因有
Tx,?1y1??2y2??1Tx,y1??2Tx,y2??1x,T?y1??2x,T?y2
?x,?1T?y1??2T?y2
因此T?(?1y1??2y2)??1T?y1??2T?y2。这说明T?是线性的。再由T?的定义，对任意的
y?Y，有T?y?f?T?y，因此有T??T，即T?为有界线性算子，而T?的惟一性是
明显的。证毕。
再给出一个实例。设X?L2?a,b?,K(t,s)是矩形区域D??a,b???a,b?上平方可积函数，则由核K(t,s)定义了空间L2?a,b?上的有界线性算子T为
(Tx)(t)??K(t,s)x(s)ds,x?L2?a,b?
abT是一个Fredholm型积分算子。现在求T的共轭算子。任取y?L2?a,b?，因为在给定条件下可交换积分次序，有
b?bx,Ty?Tx,y??(?K(t,s)x(s)ds)y(t)dt
aa??x(s)(?K(t,s)y(t)dt)ds
aabb 26
第四章 内积空间
??x(s)(?K?t,s?y?t?dt)ds
aabb??x(t)(?K?s,t?y?s?ds)dt
aabb故有 ?Ty??t???K?s,t?y?s?ds。即T?是以K(t,s)为核的Fredholm型积分算子。
?ba由例4.8,我们看到共轭算子是转置共轭矩阵概念的推广，因此它必然具有许多类似转置共轭矩阵的性质。
【定理4.12】(共轭算子的性质) 设X，Z是Hilbert空间，Y是内积空间。
T,S?L(X,Y),Q?L(Z,X)，?是复数，则以下命题成立：
（1）(?T)???T?； （2）(T?S)??T??S?； （3）(T?)??T； （4）T2?T?2?T?T；
（5）(TQ)??Q?T?；
（6）T存在有界线性逆算子的充要条件是T?也存在有界线性逆算子，有
(T?1)??(T?)?1；
（7）?(T?)??????T?。 证明：（1）任取x?X,y?Y,有
x,(?T)?y??Tx,y??Tx,y??x,T?y?x,?T?y
??因此有??T???T?。性质（1）得证。
?（2）证明留给读者证明。
（3）任取x?X,y?Y,有Tx,y?x,T?y，因此有T?y,x?y,Tx。于是 由定义4.8得知(T?)??T。性质（3）得证。
（4）由定理4.11的证明已知T??T。因此也有(T?)??T?，即T?T?。于是必
T?T?。任取x?X，因
?TT?x??T??Tx??T??Tx?T??T?x?T2x
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应用泛函分析(第二版)
则得T?T?T。
另一方面，任取x?X，且x?1，有
2Tx?Tx,Tx?(T?T)x,x?T?T?x?T?T
则得
T?supTx?(TT)
?x?11222即有T2?T?T。
2综上所证就得到T?T?2?T?T。性质（4）得证。
（5）由假设知TQ?L(Z,Y)。任取z?Z,y?Y，因
z,(TQ)?y?(TQ)z,y?Qz,T?y?z,Q?T?y
于是有?TQ??Q?T?。性质（5）得证。
?（6）设T存在有界线性逆算子T?1，则TT?1?IY,T?1T?IX，其中IX,IY 分别是X及Y上单
???IX,IY?IY，则利用性质（5）可得 位（恒等）算子。因明显有IX(T?1)?T??IY,T?(T?1)??IX
因此知(T?1)?是T?的逆算子，即成立(T?)?1?(T?1)?。反之，设T?存在有界线性逆算子，于是由前证有T?(T?)?存在有界线性逆算子。性质（6）得证。定理证毕。
（7）设???(T)，则(?I?T)?1?L(X,X)，于是由性质（6），(?I?T)?存在有界线性逆算子，而??I?T????T?，可见???(T?)，故?????T????T??。
???同理可证
??????T?????T????T?
???即
??T????????T?
所以 ??T????????T?
而??T??,??T?分别是?(T?)，?(T)的余集，因此
???? 28
第四章 内积空间
??T????????T? 习题4,4
1
设X是Hilbert空间，Y是内积空间，若S1,S2?L?Y,X?，有
??x,S1y?x,S2y,x?X,y?Y，求证S1?S2。 2设X是Hilbert空间，求证X是自反空间。
3证明I??I,????，其中I,?分别是Hilbert空间X上单位算子和零算子。 4 试求作用于l2上的算子的共轭算子： （1）T?t1,t2,????0,t1,t2,?? （2）T?t1,t2,????t2,t3??。
5试求作用于L2???,??上的算子T的共轭算子： （1）?Tx??t??x?t?h?，其中x?L2???,??，h是实常数； （2）?Tx??t??1?x(t)?x(?t)?，其中x?L2???,??。 26 设X是复Hilbert空间，T?L(X)?L?X,X?。求证：若T?T?，则对任意x?X，有
ReTx,x?0。
7设X是Hilbert空间，T?L(X)且T?1，求证：?x:Tx?x???x:T?x?x?。
8设X，Y是Hilbert空间，T?L(X,Y)。记T的零空间与值域分别为
N?T???x?X:Tx???，R(T)??Tx?Y:x?X?。
（1） 任A?X,B?Y，若T?A??B，求证A??T?(B?)；
（2） 若（1）中，A，B都是闭线性子空间，若A??T?(B?)，求证T(A)?B； （3） 求证R(T?)??N(T)?;R(T)?(N(T?))?；
? N(T)?(R(T?))?;N(T?)?(R(T))?。
9 设X是复Hilbert空间，M是X的闭线性子空间，求证：若M是X是某个非零有界线性泛函f的零空间，则M?是X的一维空间。
4.5自共轭算子
29
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在4.4节中我们引进了Hilbert空间上共轭算子的概念，如果T?L?X,X?，那么
T??L?X,X?。当X是实Hilbert空间且是有穷维时，算子T就可看成实方阵，而T?就是
T的转置。若T?=T，那么矩阵T就是对称矩阵。通过线性代数我们知道，对称矩阵有很多好的性质。在这里我们将对称矩阵的概念一般化，引入一类重要的算子。 【定义4.9】 若T?=T，则称T为自共轭算子（或自伴算子）。 【定理4.13】 设X是Hilbert空间，则下面的结论成立：
（1） 若T?L?X,X?，则T为自共轭算子当且仅当对?x?X,Tx,x是实数。
（2） 若T1,T2?L?X,X?且为自共轭算子，则对任何实数?,?,?T1??T2是自共轭算子。 （3） 若T1,T2?L?X,X?且为自共轭算子，则T1T2是自共轭算子的充要条件是
T1T2?T2T1。
证明：（1）设对任何x?X，Tx,x是实数，来证T?T?。由于
Tx,x?Tx,x?x,T?x?T?x,x
所以T?T?x,x?0，令S?T?T?，那么Sx,x?0。又
??S?x?y?,x?y?0及S?x?iy?,S(x?iy)?0
于是得
Sx,y?Sy,x?0及Sx,y?Sy,x?0
故Sx,y?0，对?x,y?X，可见Sx??，即S是零算子。于是T?T?。 反之，若T?T?，则
Tx,x?x,T?x?x,Tx?Tx,x
那么Tx,x是实数。
（2）由性质（1）之证，由于??T1??T2?x,x??T1x,x??T2x,x是实数，所以?T1??T2是自共轭算子。
（3）首先设T1T2?T2T1，那么由共轭算子的性质知
?T1T2???T2?T1??T2T1?T1T2
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