其中?s(L)为电极距为L时全部视电阻率观测数据平均值。 （4）计算相对电阻率
?y(i)?K(L)??x(i)??x??x(i)/?s(L)
通过计算相对电阻率，可以在一定程度上消除地点断面由上到下水平地层的对变化。因此，相对电阻率断面图照顾要反映地电体沿剖面的横向变化。 （5）对视参数分级
为了对视参数进行分级，首先必须按平均值和标准差关系视参数的分级间隔。间隔太小，等级过密，间隔太大，等级过稀，都不利于反映地电体的分布。一般情况下，以采用五级制为宜，即根据平均值和标准差的关系划分四个界限：
D1??x??A；D2??x??A/3；D3??x??A/3；D4??x??A
利用上述视参数的分级间隔，可将断面上各点的?s(i)或?y(i)划分成不同的等级用不同的符号或灰阶（灰度）表示时,便得到视参数异常灰度图，如：
?s(i)?D1，低阻
?s(i)?D1~D2，较低阻
ρs(i)?D2~D3，中等
?s(i)?D3~D4，较高阻
ρs(i)?D4，高阻
视参数的等级断面图在一定条件下能比较直观和形象反映地点面的分布特征。
统计处理原则上适应于三电位电极系中各种电极排列的测量结果，只是在考虑视电阻率参数图示时，由于偶极和微分两种排列的异常和地电体之间具有复杂得对应关系，因此一般只对温纳?装置的测量结果进行统计处理。当然，随着现代高密度电法仪装置的增加，温纳-斯伦贝谢装置的测量结果也可进行统计处理。 2. 比值参数
高密度电阻率法的野外观测结果出了可以绘制相应装置的视参数断面图外，根据需要还可绘制两种比值参数图。考虑到三电位电极系中三种视参数异常的分布规律，选择了温纳β装置和温纳γ装置两种装置的测量结果为基础的一类比值参数。该比值参数的计算公式为：
T(i)??s?(i)?s?(i)
由于温纳β和温纳γ这两种装置在同一地电体上锁获得的视参数总是具有相反的变化规律，因此用该参数绘制的比值断面图，在反映地电结构的分布形态方面，远比相应装置的视电阻率断面图清晰和明确的多。
图？？是对所谓地下石林模型的正演模拟结果。模型的电性分布已如图所示，其中温纳α装置的?s?拟断面图几乎没有反映，而T比值断面图则清楚地反映了上述模型的电性分布。
另一类比值参数是利用联合三极装置的测量结果为基础组合而成的，其表达式为：
?sA(i)?sB(i)?(i,i?1)?A B?s(i?1)?s(i?1)式中?s(i)和?s(i?1)分别表示剖面上相邻两点视电阻率值，计算结果示于i和比值参数?反映了联合三极装置歧离带曲线沿剖面水二乘向的变化i?1点之间。
率。图？？？？？表征比值参数?在反映地电结构能力方面所作的模拟实验，视电阻率?s?断面图只反映了基底的起伏变化，而?比值断面图却同时反映了基底起伏中的低阻构造。
2 高密度电阻率法二维地形边界元数值解法
高密度电阻率法是常规电法的一个变种，就其原理而言，与常规电法完全相同。它仍然以岩、矿石的电性差异为基础，通过观测和研究人工建立的地中稳定电流分布规律，解决水文、环境与工程地质问题。高密度电阻率法的正演问题就是传导类电法的正演问题，也就是求解稳恒点电源电流场的边值问题。
对二维地形，设起伏地面下均匀各向同性介质的电阻率为?1，具有电流强度为I的稳恒点电流源位于地面任一点A(x,0,z)。域Ω的边界由?1和?2组成（见图1）。
根据位场理论可知，在有源域内及其边界任意一点M(x,y,z)处的电位U (x,y,z)满足：
控制微分方程 ?2U(x,y,z)?F M∈Ω (1) 自然边界条件 Q(x,y,z)??U?Q(x,y,z) M∈?1 (2) ?n本质边界条件 U(x,y,z)?U(x,y,z) M∈?2 (3)
式中，F??2I?1?(M?A)，Q和U分别是边界?1和?2上已知边值函数，这里，
Q?0，U?I?11?，rAi为源点A到场点“i”间的距离。 2?rAi 可以看到，地形是二维的，即沿y轴无变化，而电位U是y偶函数，所以我们也把上边值问题称为2.5维问题。对（1）、（2）、（3）式进行余弦傅立叶变换可得：
控制微分方程 ?2u(x,?,z)??2u(x,?,z)?f M∈Ω (4) 自然边界条件 q(x,?,z)?q(x,?,z) M∈?1 (5)
本质边界条件 u(x,?,z)?u(x,?,z) M∈?2（6） 式中，f??I?1?(x?xA,z?zA)，q?0，u?I?1K0(?rA),K0(?rA)为第二类零2?阶修正贝塞尔函数，?是余弦傅立叶变换量或波数。
这样，便将三维偏微分方程（1）变成了而二维偏微分方程（4），即将三维空间的电位U(x,y,z)变换为二维空间的变换电位u(x,?,z)。为求得u，可采用边界元法求解u所满足的亥姆霍兹方程（4）式，借助格林公式及二维介质亥姆霍兹方程的基本解，即可把u满足的亥姆霍兹方程及边界条件等价地归化为如下的边界积分方程：
?iI?ui?1K0??rA???uq*d???qu*d? （7）
??2?4?11式中，?i为边界点“i”对区域?的张角，u?为亥姆霍兹方程的基本解，
????u*k1*??K1(kr)cos(n,r),k为波数，r为点(xi,zi)到点u?K0(?r),q??n2?2???(x,z)的矢径，n为边界的外法线方法，K1(kr)为第二类一阶修正贝塞尔函数。 采用边界元离散技术，将域Ω的边界?1进行剖分，分成N1个单元。根据积分的可加性，（7）式中对边界?1的积分可化为对每个单元?j上的积分之和：
ciui?Bi??j?1N1??juqd???*j?1N1??jqu*d? （8）
式中ci??iI?，Bi?1K0??rA?。 2?4?i 方程组（8）式仅是含有N1未知量的线性方程组，解此方程组即可求得变换电位值u(x,?,z)，然后按下式：
2? U(x,y,z)??u(x,?,z)cos(?y)d?
?0进行傅氏逆变换，即可求得电位值U(x,y,z)。
根据所采用的高密度电阻率法装置类型，逐点计算出某记录点处的纯地形异常视电阻率值?sD，然后用“比较法”进行地形改正。地形改正公式如下：
?sG??s/??sD/?1?
式中?sG地形改正后的视电阻率值；?s该记录点实测的视电阻率值；?sD纯地形影响值，它是一个无量纲的标量，?1一般取1??m。
利用边界单元法计算高密度电阻率法地形边界位场问题是很有效的。但是在算法引入时，必须针对高密度电阻率法的特点，作一些技术处理。高密度电阻率法电极排列密集，并且采用了差分装置，所有这些特点都要求计算精度高，运算速度快。另外，所形成的矩阵也因测量电极到供电电极的距离变化很大呈带状分布，并且当波数较大时，矩阵中的系数几乎都接近于零，造成解的不稳定。为了解决这一问题，采用了增广矩阵法求解方程组HU?B的效果较为满意。
为了保证精度，同时又减少运算次数，除采用九波数傅氏反变换外，还采用
了不等分单元剖分方案。具体做法是，在测线外，越远则单元剖分长度越大，且为最小电极距的整数陪；在测线段，则以最小电极距长度划分边界单元。为了避免r等于零时贝塞尔函数无穷大的问题，剖分结点应不与电极点位置重合，最好选取相邻电极的中点为结点。
2.1二维地电构造中点电流源场的正演有限元算法的基本原理
[4]
有限单元的思想最早是由Courant于1943年提出（倪光正）。20世纪50年代初期，由于工程分析的需要，有限元法在复杂的航空结构分析中最先得到应用，而有限元法(Finite Element Method)这个名称则由Clough于1960年在其著作中首先提出。半个世纪以来，以变分原理为基础建立起来的有限元法，因其理论依据的普遍性，不仅广泛地应用于各类结构工程，而且作为一种声誉很高的数值计算方法已被普遍推广并成功地用来解决其他工程领域中的问题，如热传导、渗流、流体力学、空气动力学、岩土力学、机械零件强度分析、电气工程问题等。
20世纪70年代初，J.H.Coggon首先将有限元法用于电法勘探，后来L.R.Rijo完善了有限元法数值计算方法，使之成为正演模拟计算的有效方法（罗延钟）。80年代初，我国的周熙襄等在引进Coggon-Rijo的算法时，将Dey和Morrison用于有限差分模拟的混合边值条件引入了有限单元法，从而发展了Coggon-Rijo的有限单元算法。此后，罗延钟等在选用边值条件和反傅氏变换的算法及波数取值等方面，又有了一些新的发展，使整个算法更臻完善，能在不做任何校正的情况下，对相当大范围内变化的电极距，取得较高精度的计算结果。90年代中期，杨进提出了迭代有限元算法，它不仅模拟复杂地球物理模型的能力强、模拟精度高、且占用计算机内存小，是对有限元方法的又一大发展。
以前的二维地电构造中点电流源场的有限元算法都是建立在常规直流电法基础之上的，而高密度电阻率法因其装置的特殊设计，所以用有限元进行正演计算时必须兼顾速度和精度。本文详细地研究了二维地电构造中点电流源场的正演有限元法的理论基础，并结合高密度电阻率法的特点，在有限元算法本身及其相关技术上作了许多改进，使之成为高密度电阻率法正演计算的有效算法。
2.1.1稳定电流场微分方程边值问题及其相应的变分问题