4.4.2 计算偏导数矩阵
为了去获得有限范围内矩形元的偏导数值，需要计算一个关于Fy函数的双重积分（见公式4.11）。很明显，公式（4.19）、（4.20）没有简单的解析解，这样，我们有必要利用高斯求积方法去计算其数值解。通常情况下，高斯求积方法比其他方法（梯形求积方法、龙贝格求积方法）更能得到一个比较精确的解。其近似公式为
??Is???4?2??z1z2x2x1Fy?x,z?dxdz
?AIs4?2??ln?1?1?1?1Fy?u,v?dudv (4.22)
AIs?4?2??WL?1K?1nkKWEFy?u,v?dudv
式中
u=(2x-x1-x2)/(x2-x1), v=(2z-z1-z2)/(z2-z1), A=0.25(x2-x1)(z2-z1)
注意转换后横坐标u、v的积分范围是[-1，1]。参数nx、nz是x和z方向的求值数。wk和we是权系数，以上各参数的值可参见Churchhouse（1981）。
计算数的大小应依据所计算的矩形元与电极间的距离而定。当矩形元靠近电极时，Fy随x、z的变化很快。当矩形元最接近某一个电极时，x、y方向的计算数分别是10和8。当矩形元跨越两个电极间距以上时，x、y方向的计算数分别取4和3。随着矩形元与电极之间的距离的增加，x、y方向的计算数逐渐减少。
为了计算雅可比矩阵中的每一个元素，需要计算二维模型中所有可能的两根电极（电流电极和电位电极）的组合条件下所有矩形元的偏导数值（见图4.2）。图4.2中有21根电极，可划分为63个矩形元，总的组合数是26460（21×20×63）。实际上，由于所讨论的问题具有对称性，计算量可以减半。此外，对于均
匀介质模型，偏导数矩阵中的很多元素是一样的。例如，对于矩形元?2对电极2、3的偏导数与矩形元?3对电极3、4的偏导数是一样的；并且与矩形元?4对电极4、5的偏导数是一样的等等。这样，偏导数矩阵的值可减少到7200个。
一个矩形元的偏导数值仅仅依赖于边角处的矩形元对于电极跨度x与z的比。假如电极之间的间距衡为常数，反演所用的模型中矩形元的排列也保持同样的水平间距，那么这个比值将保持不变，并与电极间距无关。这样，偏导数矩阵的值仅仅只需计算一次，这样就大大地节约了计算偏导数矩阵的时间。需要说明的是，仅仅需要计算单极-单极排列的偏导数矩阵，因为高密度电阻率法中任意一个电极序列都可以从单极-单极排列中引出。
当然，偏导数矩阵即可由有限元或有限差分方法得到（Sasaki，1992）。Loker和Barker（1994）用有限差分方法与上述解析方法算出的偏导数矩阵进行了对比，其均方误差小于5%。
4.4.3 方法步骤
（1）均匀介质初始模型的电阻率q0可设置为测量的视电阻率值的平均值，即
1mq0??fi (4.23)
mi?1（2）雅可比矩阵计算出来后，再选择一个合适的阻尼因子（通常为0.05），光滑约束最小二乘公式（4.1）就建立起来了。阻尼因子的值依赖于数据中的随机噪声水平（Sasaki，1992）。噪声水平高，阻尼因子的值要大一些；噪声水平低，阻尼因子的值可适当小一些。对同样大小的矩形元，电极排列的响应随着深度的增加而降低。在较深的位置（隔离系数较大）上，为了保持反演过程的稳定，平滑矩阵中的元素的值应增大（Sasaki，1989）。每增加一个隔离系数，其值大约提高10%。
（3）解最小二乘公式（4.3）就可以得到模型参数的改正量。其迭代公式是
q1?q0?p (4.24)
因为受所选的阻尼因子的影响，因此，最好是用不同的阻尼因子重复计算，这样将获得较好的结果。
高密度电阻率法采集系统原始数据数据处理资料解释成果图示滤波处理比值换算统计处理反演解释地质解释等值线图剖面曲线分级色谱图地|电断面图
加一个：视参数等值线断面色谱图图
（三）高密度电阻率法的应用 1.野外工作技术 （1）测网布置
地球物理工作的测区一般是由地质任务确定的。对主要应用于工程及环境地质调查中的高密度电法而言, 按工程地质任务所给出的测区往往是非常有限的，我们只能在需要解决工程问题的有限范围内布设测线、测网，可供选择的余地往往很少，这是一般工程物探经常遇到的情况。测网布设除了建立测区的坐标系统外，还包含了技术人员试图以多大的网度和怎样的工作模式去解决所给出的工程地质问题，在这里，经验和技巧非常重要。特殊情况下，高密度电阻率法可布设不规则的测线和测网，尽可能在有限的测区内获得更多的测量数据。 （2）装置选择
如Wenner，Dipole-Dipole、Pole-Dipoler和Wenner-Schlumberger装置等。通常使用的装置还如上述四种类型。不同的测量系统基本上以这几种装置为主, 但也各有特点, 有的高密度电阻率仪提供了十多种装置以供选择。不同装置可联合使用, 也可根据需要单独使用。选择一个合适的工作装置应考虑：（a）探测目标的特性、(b)仪器灵敏度以及(c)场地噪声本底水平，更要考虑：d）装置对地下电阻率水平或垂向变化分辨能力、(e)探测深度、（f）有效探测范围以及（g）信号强度。
（3）最小电极距和排列长度的选择
最小电极距和排列长度的选择取决于地质对象的大小和埋藏深度。要保证有足够的横向分辨率，探测目标体横向上至少要有2～3根电极通过。同时，由于高密度电阻率法实际上是一种二维探测方法,所以在保证最大极距能够探测到主要地质对象的前提下，还要考虑围岩背景也能在二维断面图中得到充分的反映。如对小而深的探测目标体，要求较小的电极间距和较多的电极数。
对于长剖面，可以通过电极的移动来获得连续的断面数据。图？是温纳-斯
伦贝谢装置通过两次移动来获得18?x剖面长度的例子。一般地，在剖面对接时要重叠三个点，重叠点的数据取两次测量的平均值。
图 温纳-斯伦贝谢装置移动测量示意图
2. 高密度电阻率法在工程与环境地质中的应用
近年来, 高密度电阻率法在场地勘察、公路及铁路隧道选线、坝基及桥墩选址、采空区及地裂缝调查以及水库渗漏研究等领域得到广泛应用, 取得了明显的地质效果和显著的经济效益。下面用几个高密度电阻率法的实际例子来说明该方法的应用。
（1）在煤气管道探测中的应用
场地地形有微小的起伏，测线左侧是水田，右侧是沙石公路。水田一侧地势较低，公路一侧地势较高。实测时，最小电极距为0.3m，电极数为30，N=9。
图7a 是温纳?装置视电阻率等值线断面图。从图中可以看出，地下介质视电阻率在30～80??m范围内，反映了地下耕织土及其下部亚粘土的电阻率；在16～24号电极之间，浅部出现100～120??m相对高阻电阻率值，是由于沙石公路引起的。大约在16～17号电极之间，见明显的视电阻率等值线封闭圈，指示了煤气管道的位置。其上部视电阻率等值线局部密集，这是由于采用明挖埋设煤气管后填埋性质不同的渣料所致。
图b，是Ts视参数等值线断面图。在煤气管道位置，出现了Ts高值等值线圈，其异常较?s异常明显。
煤气管道中心位置埋深对应N=4，此时装置极距为1.8m，估算埋深大约为0.6m左右，这一结果也为雷达探测和实地调查结果所证实。
1x23456789101112131415161718192021222324252627282930x0.0n=11.02.03.04.05.06.07.08.0(m)n=2n=3n=4n=5n=6n=7n=8n=9
(a)
1x234567891011121314151617181920212223242526272829x0.0n=11.02.03.04.05.06.07.08.0(m)n=2n=3n=4n=5n=6n=7n=8n=9 (b)
1x23456789101112131415161718192021222324252627282930x0.0n=11.02.03.04.05.06.07.08.0(m)n=2n=3n=4n=5n=6n=7n=8n=9
(c)
图煤气管道上温纳装置视参数等值线断面图
(a)温纳?装置?s等值线断面图；(b)Ts等值线断面图；(c)Ts等值线断面色谱图 （2）在城市自来水管探测中的应用
测量场地为城市水泥街道，宽18M。探测目标为路面下顺着街道延伸的城市污水排水管道，目的是确定管道的位置。测量场地水泥路面表层混凝土厚20cm，其下为水稳层，厚约25～40cm。再往下为压实层，厚约1.0m，主要有砂、石和