高密度电阻率法二维正演计算问题即点源场二维地电断面的边值问题。取三维笛卡儿坐标系的X轴为垂直于地质体走向的方向，Y为轴为地质体走向的方向，Z轴垂直指向下。我们知道，二维情况下一般设地下导电性沿Y轴方向无变化，即???(x,z)，点电流源
A(xA,ZA)位于XOZ平面上。这时，虽然地下介
图2.1 点源二维区域示意图 Figure2.1 Sketch map of point-element for 2-D area 质的电导率是二维的，而场源是三维的，电位函数u(x,y,z)所满足的微分方程及边界条件为：
①
??u(x,y,z)??u(x,y,z)??u(x,y,z)(?(x,z))?(?(x,z))?(?(x,z))?f ?x?x?y?y?z?z（2.1）
式中f??I??(x?xA)??(y)??(z?zA)，I为A点的电流强度。
② 在地面边界?1上应满足第二类边界条件，即诺依曼条件，在电法勘探中也可称为绝缘边值条件
?u?n?0 （2.2）
?1③在其余边界?2上，例如在离电流源很远的地方，可设
u????0 (2.3)
2这种给定已知电位的边界条件称为第一类边界条件，即狄里希莱条件，或称极限边界条件，也可以称作强加边界条件。 ④第三类边值条件
实际计算时，计算网格毕竟是有限的，式（2.3）中的无穷远边界条件很难满足，因此提出了第三类边值条件。对均匀半空间点源二维问题，地中任一点电位的变化总有下面的一般形式
u(x,y,z)?cx2?y2?z2?c (2.4) r式中c为常数，并设电源点放在坐标原点，r为点源到计算点的径向距离，因此有
?uc??u??2r?n??cos? (2.5) ?nrr??式中?为r和边界外法线n之间的夹角，上式也可以写为
?uu???0 (2.6a) ?nr式中??cos?,上式便是第三类边值条件，或曰混合边界条件。
但是对于非均匀地电断面，便导不出（2.6a）式。为此，需采用更一般形式的混合边界条件，即
??uu???0 （2.6b） ?nr式中，大量的试算发现?取值在0～?为与地电断面不均匀性等有关的一个系数。1之间，均值约为1/2。关于?系数的取值问题暂不作讨论，在下面的公式推导中，为记述的方便，不妨暂时取?=1。
⑤在所论由边界?1和?2包围的区域?内，两种具有导电率为?1和?2的介质的交界面处，电位和电流密度法向分量应满足以下衔接条件,或曰普遍边界条件 (a) 由于电位的连续性，在交界面处，有
u1(x,y,z)?u2(x,y,z) (2.7)
(b) 由于电流法向分量的连续性，在交界面处，有
?1?u1?u??22 (2.8) ?n?n?其中n为交界面的法线方向的单位矢量。
前已谈到，对于点源二维问题，介质的电阻率是二维分布，而场源是三维的。为使问题简化，我们常把三维问题通过傅氏变换化为二维问题。由于电位是关于y轴的偶函数，故取余弦变换对
2???F(?)???0f(x)cos(?x)dx? (2.9) 2??f(x)??F(?)cos(?x)d??0?对（2.1）式按（2.9）式取傅氏变换，得
??v(?,x,z)??v(?,x,z)(?(x,z))?(?(x,z))??2?(x,z)v(?,x,z)?f'(2.10) ?x?x?z?z1式中f'??I??(x?xA)??(z?zA)，v(?,x,z)称为傅氏电位、变换电位或傅氏变
2换电位。
这样，便将三维微分方程（2.1）式变成了二维微分方程（2.10）式。当分别对若干个给定的波数?值求解方程（2.10）式，计算出傅氏电位v(λ，x，y)后，再按（2.9）式作傅氏反变换，即可计算出所求的电位 u(x,y,z)?2???v(?,x,z)cos(?y)dy （2.11）
0在求解偏微分方程（2.10）时，于求解边界上，宜采用如下边值条件： ①在地面边界?1上，应用绝缘边值条件，即第二类边值条件：
?v?n?0 （2.12）
?1②在其余边界?2上，采用前述第三类边界条件，即混合边界条件。其导出过程如下
由于求解区的左、右和底边界远离场源和电性异常体，故在那里的电场分布可近似看成与均匀大地情况相同。设场源是位于Ak(xk,o,zk)，电流强度为Ik的
N个点电流源(k=1,2,3??N)，则对于上述边界上的某点P(x,y,z)，其电位
可写成如下形式
u(x,y,z)??k?1NQ?Ikr?y2k2 (2.13)
式中Q??，?—均匀大地的电阻率；rk?(x?xk)2?(z?zk)2。 2?对（2.13）式作傅氏变换，得
?v(?,x,z)??u(x,y,z)cos(?y)dy
0 ???0k?1?NQIkr?y2k2cos(?y)dy
?Q?IkK0(?rk) (2.14)
k?1N?式中的K0(?rk) 是零阶修正贝塞尔函数。对（2.14）式沿界外法线n求方向导数，并考虑到修正贝塞尔函数的求导性质（dK0(x)/dx??K1(x)），可得
N?v(?,x,z)??Q.???IkK1(?rk)cos?k (2.15) ?nk?1式中,K1(?rk) 为一阶修正贝塞尔函数；?k为二维断面（x—z坐标面）上，场源
??Ak到所论点P的矢径rk与P点边界外法线方向n之间的夹角。
从（2.14）和（2.15）式中消去常数Q，可得上述边界上的混合边值条件
?v???v????0 (2.16) ?n???2式中，?????Ik?1NknK1(?rk)cos?k 。
k?Ik?1K0(?rk) 于是，所提出的问题可归结为对若干个给定的波数λ值，求解电位的傅氏变换电位v所满足的下列二维偏微分方程的边值问题 ①v满足二维偏微分方程
??v??v(?(x,z))?(?(x,z))??2?(x,z)v?f (2.17) ?x?x?z?z其中
1Nf???Ik?(x?xk)?(z?zk) （2.18）
2k?1②在地面边界?1上
?v?0 (2.19) ?n?1③在其余边界?2上
?v???v????0 (2.20a) ?n???2其中 ?????Ik?1NknK1(?rk)cos?k (1.20b)
k?Ik?1K0(?rk)与上述二维偏微分方程边值问题（2.17式、2.19式、2.20a式）等价的变分问题为
???v??v?J(v)??????()2?()2??2v2??2fv?ds????v2dl?极值 (2.21)
?x?z??????2从二维条件下的欧拉方程边值问题出发，我们可以证明（2.17、2.19、2.20a）与（2.21）式的等价性。并且地面边值条件(2.2)式在泛函极值问题（2.21）式中没有出现，这是因为这一条件在泛函极值问题中能自然得到满足，故称此边界条件为变分问题的自然边界条件。此外，在求解区?（由边界?1??2围成的区域）内存在有限个电导率?突变面时的内边界条件（2.7）、（2.8）式，在变分问题中也是自然满足的，不需另作处理。至此，用有限单元法计算二维地电构造中的点电流源场的核心，就是用数值方法解变分问题（2.21）式。
求解变分方程（2.21）式，就是要找出一个傅氏电位的空间坐标函数
v(?,x,z)，以使泛函J(v)最小。有限单元法就是用来求解这一问题的数值解的计
算技术，它依据泛函欧拉方程边值问题与泛函极值问题的等价性，将微分方程的边值问题转化为相应的泛函极值问题。对于稳定电流场，根据电场总能量最小化原理，泛函的极值问题（2.21式）应满足
???????v2?v222?2? ?J(v)????????()?()??v??2f?v?ds????vdl??0 （2.22）
?x?z?????2?????即泛函取得极值的必要条件是它的变分为零。如果将整个求解区间Ω划分为若干个单元e（参见图2.2），e足够小，以致可以认为傅氏电位v(?,x,z)在各单元内呈简单函数形式（比如，在二维条件下，可假设v(?,x,z)在各三角单元内呈线性变化），于是，泛函的极值问题（或变分问题）又可简化为多元函数的极值问题，而多元函数的极值问题是大家所熟知的。这就是有限单元法的基本思想。
求出傅氏电位v(?,x,z)后，利用傅氏反变换（2.11式），即可求出电位函数
u(x,y,z)。对于高密度电阻率法来讲，一般y?0，即要求求出主剖面上的电位u(x,z)，再利用公式
图2.2 区域剖分示意图 ?s?K?UMN （2.23） I即可计算出各种装置的视电阻率值。