ai?bix?ciz?xjxm1xzjzm?zzjzm1zj1zmx?1xj1xmz?1xj1xm?2?pjm
式中，?pjm为三角形pjm的面积。故由（2.31）式 得
Ni(x,z)?ai?bix?ciz?pjm （2.39） ?2??即Ni(x,z)表示以P(x,z) 为一顶点，jm为对边的三角形面积?pjm 与单元面积
?之比值。Nj(x,z) 和Nm(x,z) 的几何意义可以类推。由此可得Ni(x,z)、
Nj(x,z) 和Nm(x,z) 的下述性质
Ni(x,z)?Nj(x,z)?Nm(x,z)?1 （2.40）
Ni(xi,zi)?1??Ni(xj,zj)?0? (1-41) Ni(xm,zm)?0??以及
Nj(xi,zi)?0??Nj(xj,zj)?1? (1-42) Nj(xm,zm)?0??另一方面，由（2.31）式，可得
1?(ai?bix?ciz)??2?? (1-43)
1Nj?(aj?bjx?cjz)??2??Ni?可将（2.43）式看作是从（x,z）到（Ni，Nj）的坐标变换。由（2.41）和（2.42） 式可知，这种变换将（x,z） 平面上的i(xi,zi)、j(xj,zj)、m(xm,zm) 点分别变换为（Ni，Nj） 平面上的i'(1,0)、j'(0,1)、m'(0,0) 点（见图2.4），其面积单元之比等于雅可比(Jacobian)式
?NidNi?dNj??x?Njdxdz?x?Nibi?z?2??Njbj?z2?ci2??1(bc?bc)
ijjicj4?22?考虑到（2.28）式
bicj?bjci?2?
故有
dxdz?2?dNidNj （2.44）
由此可计算
??(?ijm)e[Ni(x,z)]2dxdz?2?2Ni??dNidNj ?ijm'e'''?1?Ni??2??Ni??dNj?dNi
??0?0?12?2??Ni2(1?Ni)dNi?01? （2.45） 6同样
??(?ijm)eNi(x,z)Nj(x,z)dxdz?2???NNdNdNiji?i'j'm'e'j
?1?Ni?1N??2??Ni?NjdNj?dNi?2??i(1?Ni)2dNi ??020?0?12=??(Ni?2Ni2?Ni3)dNi?01? （2.46） 12可以将以上两式类推到（2.38）式中的其余积分，并写成如下一般形式
??Np(x,z)Nq(x,z)dxdz?e?(1??pq) （2.47） 12式中
?pq?1???0(p?q)(p?q) p、q分别表示i、j 或m。
将（2.47）式代入（2.38）式得
2??vds?e?22(vi?v2j?vm?vivj?vjvm?vmvi) （2.48） 6现在，只剩下(2.33)式中最后一项（线）积分了，而此项积分可仿照第二项（面）积分的方法求得。应该指出，此（线）积分是由求解区边界?2上的边值条件引入的，故只需对属于?2 的单元边界计算该积分。设单元边界jm 在求解区边界?2 上，可以近似地将jm 上的系数?视为常数（取为j或m点的值?j 或
?m）；同时，电导率???e亦为常数，皆可提到积分号外。于是，问题归结为计算积分
2v?dl?jmjm??N(x,z)vii?Nj(x,z)vj?Nm(x,z)vmdl
?2根据前述Ni、Nj、Nm的几何意义，可以写出它们在jm 边上的表示式（参见图2.5）
Ni(x,z)??pjm/??0 Nj(x,z)??pmi/??1?l/ljm Nm(x,z)??pij/??l/ljm
故有
图2.5 含边界的三角单元上线积分计算用图 ljm2v?dl? jm?[(1?0ljmlljm)vj?lljmvm]2dl
ljm2ljm2??lllll222 =vj??(1?2?2)dl??vm?2dl?2vjvm?(?2)dl
ljmljm?ljmljm0?0ljm0??=
ljm32(v2 j?vm?vjvm) jm??2 （2.49）
如果ij或 mi 位于边界?2上，则可类推得
2v?dl?ijlij?v32i?v2j?vivj ij??2 （2.50）
?或
lmi2(vm?vi2?vmvi) mi??2 （2.51） 3mi2v?dv?将（2.35）、(2.37)、 (2.48)、（2.49）、（2.50） 和（2.51）代入（2.33）式，得单元e上的泛函
Je??e?(bv4?ii?bjvj?bmvm)2?(civi?cjvj?cmvm)2
???e?222(vi?v2 +j?vm?vivj?vjvm?vmvi) 6IiviIjvjImvm??) -(ninjnm??e?ijlij(vi2?v2j?vivj)/3??2???e?jmljm(v2j?vm?vivj)/3?22??l(v?v?vmvi)/3?emimimi?(ij??2) (jm??2) （2.52）
(mi??2)这样，便将单元泛函表示成该单元各节点函数值vi、vj和vm的多元函数，将所有单元的Je(v)相加，便得到整个求解区的J(v)
J(v)??Je(v) （2.53）
e于是，前述变分问题（泛函的极值问题）就变为多元函数的极值问题。我们知道，多元函数J(v)取得极值的必要条件是其偏导数为零。即J(v)对每一变量v1、
v2、?、vM的偏导数为零
?J(v)???vr?vr?Je(v)??ee?Je(v)?0 （2.54） ?vr(r?1,2,???,M)
我们仍就从一个单元分析入手，由（2.52）式可计算包含i、j、m三个节点之单元e的泛函Je 对各节点的函数值的一阶偏导数：
?Je?0 ?v1?
??2?ilij/32?1?Je??????e?(bibi?cici)???0?vi2?3?2?l/3??imi?(ij??2)????(jm??2)??vi
?(mi??2)??????jlij/32?1????+?e?(bibj?cicj)???06?0?2?????02?1????+?e?(bibm?cicm)???06??l/3?2??mimi?eee?Kiivi?Kijvj?Kimvm?Ii/ni
(ij??2)????(jm??2)??vj
?(mi??2)???(ij??2)????I(jm??2)??vm?i
ni?(mi??2)????
?Jeee?Kejivi?Kjjvj?Kjmvm?Ij/nj ?vj?
?Jeeee?Kmivi?Kmjvj?Kmmvm?Im/nm ?vm?