∴当1(,1)∈x e
时，'()0<k x ，∴()k x 在1(,1)e 递减； 当(1,]∈x e 时，'()0>k x ，∴()k x 在(1,]e 递增.
故min ()(1)1==k x k ，又1
1()1,()1=+=-k k e e e e
. 【11分】
11()()20-=-+<k k e e e e ，∴1()()<k k e e ，∴1(1)()<≤k t k e
即1(1,1]∈+t e 【13分】
19.（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）由已知 221314
=-=e a ，∴24=a 【2分】
点(1,2
在椭圆上，∴221
314+=a b ，解得2,1==a b . ∴所求椭圆方程为2
214
+=x y 【4分】 (Ⅱ)设11(,)A x y ，22(,)B x y
，AB 的垂直平分线过点1(0,2
）, ∴AB 的斜率k 存在. 当直线AB 的斜率0=k 时， ∴1212,
=-=x x y y
∴12|||||||||2=?==AOB S x y x y x
V 2214122+-=≤?=x x ""=当且仅当22114,=-x x
∴1=x max ()1=AOB S V 【6分】 当直线AB 的斜率0≠k 时， 设:=+AB l y kx m (0)≠m . ∴2214
=+???+=??y kx m x y 消去y 得：222(14)8440+++-=k x kmx m 由0?>.2241+>k m ① 【8分】 ∴2121222844,1414-+=-=++km m x x x x k k ， ∴1224,214+=-+x x km k
∴121222214++=+=+y y x x m k m k ，∴AB 的中点为224(,)1414-++km m k k