渐进结构优化方法及算例
年
扑优化对象分离散结构和连续体结构。连续体结构拓扑优化的目的是在给定荷载、约束、材料和目标函数的条件下，确定连续体内部孔的数量，以及内部和
［!］外部边界的形状。
现了过大的局部应力。因此，应力约束是结构优化过程中最基本约束之一。#57法就是首先针对应力优化而提出的。受力分析表明结构中应力分布不均匀是很难避免的，有些区域应力水平较高，是引起结构破坏的危险区域；有些区域应力水平较低，材料未得到充分利用，如果去掉该区域材料，对整个结构的受力影响很小，同时可减少结构重量。因此，#57应力优化准则为：逐渐去掉结构中的低应力材料，使剩下的结构更有效地承担荷载，从而应力分布更加均结构优化最初采用经典解析方法求解，即变分
［"］
法或微分法。对无约束优化问题，#$%&’()*+’*,+&
方程构成极值存在的充要条件，然后用梯度向量搜寻优化方向；对约束优化问题则采用)*+’*,+&乘子构成辅助函数来考虑约束条件的影响。虽然解析方法可以解决一些简单构件或桁架的优化问题，但所涉及的复杂数学推导阻碍了它在实际结构中的应
用［-］。近年来，计算机在结构分析中的普遍应用促
进了结构优化数值方法的发展。数学规划法和优化
准则法是广泛采用的两种方法［"］。关于连续体结构的拓扑优化，应用比较广泛的有均匀化方法［.］。这
些方法可解决各类结构的尺寸、形状及拓扑优化，但
方法的计算效率和通用性并不理想［/］。渐进结构优
化法（#01%$231,*’452’$62$’*%782393:*231,，以下简称#57）
就是在这种要求下发展起来的。渐进结构优化法（#57）最早是由澳大利亚维多利亚大学的谢忆民和悉尼大学的52&0&,;<=<于>??@年共同提出的
［?］
，主要用于解决连续体结构的
拓扑优化问题。#57法的思想很简单，即根据一定的优化准则，将无效或低效的材料逐步去掉，从而使结构逐渐趋于优化
［>A］
。在优化迭代中，该方法采用
固定的有限元网格，对存在的材料单元，其材料数编号为非零数，而对不存在的材料单元材料数编号为零。当计算结构刚度矩阵等特性时，不计材料数编号为零的单元特性，通过这种零和非零模式实现结构拓扑优化。该方法采用已有的有限元分析软件，通过迭代在计算机上实现，通用性较好。
#57算法自诞生以来，
在两位创始人的努力下，理论不断得以完善，应用范围逐步扩展。它不仅可解决各类结构的尺寸优化，还可同时实现形状和拓扑优化。本文全面介绍了渐进结构优化法的原理及在各种结构优化领域的发展成果，文章基本以优化的约束条件来组织，每部分在描述基本思路的基础上详细介绍了在该优化方面的研究成果。
>应力约束
对大多数结构万 方数据而言，破坏主要是强度破坏即出
匀。绝对的优化结构当然是每点的应力完全相同，但这种理想情况在实际结构中很难达到。设计目标是尽可能减少各处应力水平的差距，使应力分布尽可能均匀。具体实施步骤如下：
（>）在给定的荷载和边界条件下，定义设计区域形成初始设计，用有限元网格离散该区域；
（B）对离散的结构进行静力分析；
（@）明确强度理论，例如，对平面应力状态下的各向同性材料，可采用C1,D3E&E应力准则，求出每点的应力值，单元应力!CD!和最大单元应力!CD9*F，如果!CD!
满足!CDCD
!G!9*FH""#
（>）
则认为该单元处于低应力状态，可从结构中删除，其中""#为删除率；
（!）以上有限元分析和单元删除重复进行，直到（>）
式无法满足为止，即对应于""#的稳定状态已达到，为使迭代继续进行，引进另一参数进化率$"，
从而下一稳定状态的删除率修改为""#I>J""#I$"
#JA，>，B，@，…（B）
根据数值经验，迭代过程中初始删除率""A和进化
率$"通常采用>K；
（"）重复第BL!步直到结构重量或最大应力达到给定值。
下面以一桁架结构的拓扑优化为例［-］
来说明
#57
应力优化的实施过程。