渐进结构优化方法及算例
第!期张伟等：渐进结构优化方法及算例11
和!"#的结构体积减少。还需要指出的是，尽管在初始结构中三个荷载点垂直方向位移完全不同，但采用上面提出的加权参数，在每一最佳化设计结构中，
该三个位移值非常接近其位移约束容许值。
计具有重要意义。为了避免严重振动，常常需要调整移动结构基频或几阶低频，使之远离动荷载频率范围。9:;法在处理频率约束时同样简单有效。
优化过程与刚度约束类似，频率约束根据灵敏$"%
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图,多位移约束结构优化设计
按优化结构的不同，关于位移和刚度的优化也
取得了一定的成果。首先是-./
［01］
等对一空间桁架进行了拓扑优化，并对每迭代步删除的材料量对最
终解的影响做了进一步的讨论。王栋等［!"，!0］
对于单
个位移约束和多个位移约束的桁架结构进行了形状
与尺寸的组合优化。2$34*5$6$7$.8%等［!!］对框架结
构进行了优化设计。
&频率约束
动荷载作用下的结构响应在很大程度上依赖于
结构前几阶固有频率。当动荷载频率接近结构固有频率之一时，结构就会出现共振。特别是在土木、航
空、航天和汽车工程结构中，万 方数据频率约束的结构最佳设
度数来确定须删除的单元。
对有限元动平衡方程微分，可得到第单元的特征值灵敏度：
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0!""<#｛$"（｝"!［"
%!!&］=［’&］）｛$!"｝"
（0"）
式中：""为第"阶圆频率，｛$!"｝为对应的单元!的特征向量，#为第"阶模态质量，［%!"&］为单元!的质量矩阵。
采用9:;法进行频率优化的目标包括选择频率的最大或最小、保持选择频率为常量、两频率间距最大和多频约束。
在过去的&"年中，有大量文献涉及结构的频率
约束优化问题。>6$3?.4［!&］总结了该方面的发展和
应用，注意到频率优化的研究主要限于改变梁的尺寸或板的厚度等。最近在一般结构动力系统的形状和拓扑优化方面取得了一些成果，最著名的是均匀
化法的应用（例如84$@和A45/*.4［!+］；2$等［!)，!B］；CD3D5和E$F4G$6$［!,］
）
。逐渐删除材料的9:;概念很容易在频率优化中推广和有效地应用。到目前为止，用9:;方法解决了许多频率优化问题，其结果与均匀法等其它方法的解有极好的一致性。如倪晓
宇［!H］
等人利用9:;方法，实现了机床床身结构在频
率约束和刚度约束下的拓扑优化。为该方法在机床大件结构拓扑优化中的应用做了有益的尝试。
+屈曲约束
随着高强度材料的出现，许多结构变得越来越
薄或细长，很容易发生屈曲。通过从最强位置移动材料到最弱位置，可以得到最佳结构屈曲设计，以至于最终设计比相同质量的初始设计有更高的屈曲荷载。目前，9:;方法已用于柱、
桁架和板屈曲优化。稳定性约束和频率约束类似，因为两者都是特征值问题，灵敏度计算中，用几何刚度矩阵取代频率约束中的质量矩阵即可，详细的推导过程可参考文献［!1］。值得注意的是，频率优化和屈曲优化过程中，有可能出现重特征值现象。例如，优化的基频可