渐进结构优化方法及算例
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足够的刚度，使其最大挠度处于规范允许范围之内，因此位移或刚度也是结构设计中需要考虑的关键约束。刚度常用结构中某些关键点处的位移来描述。
与应力约束不同的是，位移约束是根据灵敏度来确定要删除的单元，因此首先推导单元灵敏度的计算公式。
由平衡方程：
［!］｛"｝!｛#｝
重量比值为：
#7./89-:!
)7./89-:"5
!"
)5"
)<=9>=<
5
（;）
而优化结构的重量与初始设计的重量比值为：
#<=9>=<!
（?）
位移或刚度优化步骤和应力优化相似，但第"@&步
（"）
修改为：
（&）或（4）计算单元灵敏度；"）根据方程
式中：［!］为整体刚度矩阵；｛"｝和｛#｝分别为位移
和荷载列矩阵。
假设单元$从结构中删除，对平衡方程微分可得到%节点的位移增量：
!"$%#
$%!｛"｝
［!$&］｛"$｝（$）
其中：［!$$&］为单元刚度矩阵，｛"｝为实际荷载作用下
单元$的位移阵，｛"$%｝#
为作用在节点%处，与位移
约束同方向的单位虚荷载下单元的位移阵。取!"$%的绝对值
!$%!%!"$%%
（&）$%称为$单元灵敏度，
数值上等于删除单元$对%点位移绝对值的贡献；当位移控制施加在荷载作用点处，即点荷载’作用在%点，这时｛"$%
｝!’
"$｝，!$%
的物理意义则为单元$的应变能。
在某些情况下，结构中有多点须满足位移容许值，即：
%"%%!""%
%!’，(，…，(
（)）
其中：(为位移控制点的个数。多点位移控制涉及求解*+,-+.,/+.乘子以分别考虑各控制位移对目标函数的贡献。在012中，*+,-+.,/+.乘子表现为灵敏度加权系数"%：
(
(
!$!
#"!%$%!#
（%"%%3""%）!$%（4）
%!’
%!’
值得指出的是，上述灵敏度可在单元水平上计算，这样可有效节省计算时间。
刚度优化的目标可为满足容许位移的最轻结构，或为满足重量要求而某点位移最小的结构，二者具有等价性。通常将最优解与等厚解相比较，以衡量材料的节省程度。所谓等厚解即：假设初始设计中某点的位移绝对值和容许位移分别为"5和""，保持结构的形状不变，将整个结构的厚度按"56""的比例变化，以使控制点的位移达到容许值，新的结
构称为初始设计万 方数据的等厚结构，其重量和初始设计的
$）删除灵敏度数值较小的单元，
删除的单元数量可以为初始设计单元总数的’A，称为材料删除率*++；
&）重复(@$步直到结构中点位移达到容许值或结构重量达到给定值。
为了体现012方法在处理灵敏度计算中的优
势，下面以一多位移约束优化算例［"5］来说明该方法
的特点。
如图)所示，结构在给定边界条件下，受三个’55B集中荷载作用；设计区域的尺寸：,-!5C(5:、,.!5C’5:、
厚度/!5C55&:，弹性模量0!(54DE+，泊松比1!5C"。假设结构处于平面应力状态。最大初始竖向位移为5C((:，同时假定三个加载点的
垂直方向位移约束上限值相等。
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