泰勒公式的证明及其应用
泰勒公式的证明及其应用
数学与应用数学专业 胡心愿
[摘 要]泰勒公式的相关理论是函数逼近论的基础。本文主要探索的是泰勒公式的一些证明方法，并对不同的证明方法进行相应的比较分析，在此基础上讨论泰勒公式在证明不等式、求函数极限、求近似值、求行列式的值、讨论了函数的凹凸性，判别拐点，判断级数敛散性等方面的应用.本文还针对多元函数的泰勒公式的推导和应用做了简单的论述.
[关键词]泰勒公式；不等式；应用；
Proof of Taylor's Formula and Its Application
Mathematics and Appliced Mathematics Major HU Xin-yuan
Abstract: The theory about Taylor's Formula is the basic content of Approximation Theory . What this paper explores is some methods that proof the Taylor's Formula, and the paper analyse and compare them. On that basis, the paper discuss the application of Taylor's Formula in some respects，such as Inequality proof, functional limit, approximate value, determinant value, convexity-concavity of function, the decision of inflection point, divergence of the series.The paper explore the derivation of Taylor's Formula of the function of many variables and its application.
Key words:Taylor's Formula;inequality;application
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泰勒公式的证明及其应用
目 录
1 泰勒公式..............................................................1 1.1 泰勒定理的证明过程................................................1 2 余项估计..............................................................2 2.1 泰勒中值定理......................................................2 2.2 拉格朗日余项......................................................3 2.3 柯西余项..........................................................6 2.4 积分余项..........................................................7 3 泰勒公式的应用........................................................9 3.1 利用泰勒公式证明不等式............................................9 3.1.1 泰勒公式在含有定积分的不等式中的应用..........................9 3.1.2 泰勒公式在含有导函数的不等式中的应用.........................10 3.2 利用泰勒公式求函数值与函数极限...................................11 3.3 利用泰勒公式讨论函数的凹凸性，判别拐点...........................12 3.4 判断级数的敛散性.................................................14 3.5 利用泰勒公式求行列式的值.........................................15 4 多元函数的泰勒公式...................................................16 4.1 二元函数泰勒公式的证明...........................................17 4.2 二元函数泰勒公式的应用...........................................18 结束语.................................................................19 参考文献...............................................................19 致谢...................................................................20
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泰勒公式的证明及其应用
泰勒公式是数学分析的一个重要内容，它将一些复杂的函数近似地表示为简单的多项式函数，分析比较它的各种证明方法和归纳其各种应用是本文的主要内容.关于泰勒公式的证明主要是讨论泰勒余项.
1 泰勒定理
若函数f?x?在x0处存在n阶导数，则?x?U?x0?，有
f?x??Tn?x????x?x0? ??1?
n??f???x0?f?n??x0?2?x?x0?????x?x0?n， 其中Tn?x??f?x0??f??x0??x?x0??2!n!Rn?x????x?x0??n??x?x?，即R?x?是比?x?x?的高阶无穷小.?1?式称为f?x?在xn0n00（展开）的泰勒公式.
1.1 泰勒定理的证明过程
?x?????x?x?，只需要证明 由高阶无穷小的定义知，若要证明Rn?0??n??x?x0limRn?x??x?x0?n?limf?x???n?x?x?x0?x?x0?n?0
0因为这是的待定型，可以应用n?1次的洛必达法则来证明.
0Rn?x??f?x???n?x??
??f??x0?f???x0?f?n??x0?2 f?x???f?x0???x?x0???x?x0?????x?x0?n?
1!2!n!????f???x0?f?n??x0???x??f??x???f??x0?? Rn?x?x0?????x?x0?n?1?
?n?1?!1!???n????????x0?fxfn?2?0?x???f??????? Rn????????x??fx0?x?x0???x?x0? ???n?2?!1!?? ?? Rn?n?1??????fx???n?1???n?1??f?n?1??x0??x???f?x0???x?x0??
1!?? 1
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?x??，???因为当x?x0时，Rn?x?，Rn，Rn???n?1??x?以及?x?x0?k（k???）
?x?， R???limnx?x0n!?x?x?0?n?1?都是无穷小,所以由洛必达法则，有
limx?x0?x??Rn????x?x0?n?limx?x0?x????Rn??n?x?x0?n?1?limx?x0?x?????Rn??n?n?1??x?x0?n?2将Rn?n?1??????fx???n?1???n?1??f?n?1??x0??x???f?x0???x?x0??带入上式得
1!?? limx?x0Rn?x??x?x0?n?1?f?n?1??x??f?n?1??x0?1?n??lim??f?n??x???f?x0??f?n??x0??0， x?x0n!x?x0??n!???x?????x?x? . 因此，可以得到Rn?0??n??2 余项估计
?x?????x?x?称为佩亚诺余项.佩亚诺余项??x?x?泰勒定理中给出的余项Rn?00??n???n??x??的数值.还需要进一步的进行定量描只是给出来余项的定性描述，它不能估算余项Rn???述.
2.1 泰勒中值定理
泰勒中值定理 若函数f?x?在U?x0?内存在n?1阶导数，?x?U?x0?，函数G?t?在
[1]
?以x与x0为端点的闭区间I连续，在其开区间可导，且G??t??0，则x与x0之间至少存在一点?，使
f?x??f?x0??f??x0??x?x0??f???x0??x?x0?2?? 2!f?n??x0?f?n?1????n ??x?x0???x?x0?n?G?x??G????
n!n!G????f?n?1????其中Rn?x???x?x0?n?G?x??G????.
n!G????证明 f?x?的泰勒多项式
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f???x0?f?n??x0?2?x?x0?????x?x0?n. ?n?x??f?x0??f??x0??x?x0??2!n!f???t?f?n??t?2?x?t?????x?t?n,则 我们记F?t??f?t??f??t??x?t??2!n! F??t??f??t??f??t??f???t??x?t??f???t??x?t??
f????t??x?t?2??
2!f?n??t?f?n?1??t?f?n?1??t?n?1n?x?t???x?t???x?t?n. ??n?1?!n!n!可以看出函数F?t?与G?t?在闭区间I连续，在其开区间可导，G??t??0， 且可以看出F?x??f?x?.
应用柯西中值定理有：x与x0之间至少存在一点?，使 f?x??f?x0??f??x0??x?x0??f???x0??x?x0?2??
2!f?n??x0?f?n?1????n?x?x0???x?x0?n?G?x??G????, ?n!n!G????f?n?1????其中Rn?x???x?x0?n?G?x??G????.
n!G????2.2 拉格朗日余项
若函数f在U?x0?内为存在n?1阶的连续导数，则?x?U?x0?有
f???x0?f?n??x0?2?x?x0?????x?x0?n?Rn?x? f?x??f?x0??f??x0??x?x0??2!n!? ???2?
f?n?1?????x?x0?n?1 称为拉格朗日余项，其中?在x与x0之间，称?2?式为f?x?在Rn?x???n?1?!x0的带拉格朗日余项的泰勒公式.
当x0?0时，?2?式变成
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