泰勒公式的证明及其应用
f?n??x0??x?x0?n?2?n?2?!相同.
当n为奇数时，显然在x0的两边，f?n??x0??x?x0?n?2?n?2?!符号相异，即f???x?的符号相异，所以?x0,f?x0??为拐点.
当n为偶数时，则f???x?的符号相同，所以?x0,f?x0??不是拐点. 例6 判定?0,4?是否是f?x??ex?e?x?2cosx的拐点？ 解 f??x??ex?e?x?2sinx，f??0??0 f???x??ex?e?x?2cosx，f???0??0 f????x??ex?e?x?2sinx，f????x??0
f?4??x??ex?e?x?2cosx，f?4??0??4?0 因为n?4,所以?0,4?不是f?x?的拐点.
3.4 判断级数的敛散性
当级数的通项表达式是由不同类型的函数式构成的比较繁难的形式时，一般很难通过简单方法判断该级数的敛散性，这时往往可以利用泰勒公式将级数化为统一的形式，再利用一些简单的判断级数敛散性的方法来判断级数的敛散性.
?1n?1??的敛散性. 例7 讨论级数???ln?n?n?1?n??分析 直接通过通项去判断级数是正项级数还是非正项级数比较困难。因而不能直接给出判断级数敛散性的方法。但是我们注意到所给级数通项中的lnn?1?1??ln?1??是可n?n?以将其展开，并且是
11的幂的形式，开方后更是与接近，变于进行敛散性的判别. nn解 因为lnn?11111?1?1?ln?1????2?3?4???,所以 nn3n4n?n?n2n1n?lnn?1?0 ， n 14
泰勒公式的证明及其应用
故该级数是正项级数.
因为lnn?1111?1??1??ln?1????2?3???3? nn2n3n?n??n??1111?1?2?3???3nn4n?n2n2??11???, 3?n?2n2?2 ??n?11?11?ln????3所以nnn?n2n2?1??1??3? ?2?2n?1n?1???收敛. 因为?3收敛,所以 ???lnn?n?1n?1?n?22n1?3.5 利用泰勒公式求行列式的值
若一个行列式可看做x的函数（一般是x的n次多项式），记作f?x?，按泰勒公式在某x0处展开，可以求的行列式的值.
xz例8 求n阶行列式D?zzyxzzy?y?x?z?yyy. x?????分析 由题意知行列式D是可以看作是关于x的函数（n次多项式）.可以从泰勒公式的角度解题.把D记做fn?x?，并在x?z处展开，fn?x?的n+1阶导数等于零.
?z???fn????x?z?2???fnz?x?z?n. 解 fn?x?展开fn?x??fn?z??fn?z??x?z??2!n!zyy?yzyy?y00?z?z?y?n?1?n?zzy?y0z?y0 fn?z??zzz?y?0???????zzz?z000?z?y??0,
???z?y 15
泰勒公式的证明及其应用
10则fn??x??0yxzyyx???yx010yyx???yxyxzyyx???000
yzy?zyzy?z?????0zz?x?????z0z?x?????zzz?1 ?nfn?1?x?. 类似的
fn???x??n?n?1?fn?2?x???fnfn?n?1??????n?n?1??2f?x?x?1?
?n??x??n!n?2故有
fn??z??nfn?1?z??nz?z?y?n?3fn???z??n?n?1?fn?2?z??n?n?1?z?z?y? ???n?1?0fn?z??n?n?1??2f1?x??n!z?z?y??n!z fn带入fn?x?得,
f??n?z?fn?n??z?2?x?z?????x?z?n fn?x??fn?z??f?n?z??x?z??2!n!?n??z??n!,
?z?z?y?
??n?1?nz?x?z??z?y?n?2?n?n?1?2n?3z?x?z??z?y?? 2!n!z?x?z?n?1?n!?x?z?n. ?n?1?!n!n?1若z?y,有fn?x???x?y??x??n?1?y?,
nnz?x?y??y?x?z?若z?y，有fn?x??.
z?y可见，泰勒公式用于解决数学问题的广泛性，它是很有力的工具.
4多元函数的泰勒公式
对多元函数的泰勒公式主要讨论二元函数的泰勒公式.
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泰勒公式的证明及其应用
若二元函数函数f在点P0?x0,y0?的某邻域U?P0?内有直到n?1阶的连续偏导数，则对U?P0?内任一点?x0?h,y0?k?，存在相应的???0,1?，使得
?????f?x0?h,y0?k??f?x0,y0???h?kf?x0,y0????x??y??1????1??????????h?kfx,y???h?kf?x0,y0?00???2!??x?y?n!??x?y??
1???????h?k??n?1?!??x?y??n?12n
f?x0??h,y0??k?.
此式成为二元函数f?x?在点P0的n阶泰勒公式，其中
m?????miim?i?????h?kfx,y?Cfx,yhk. ??00m00im?i??x??y?x?yi?0??m4.1 二元函数泰勒公式的证明
作函数??t??f?x0?th,y0?tk?，因为一元函数??t?在?0,1?上满足一元函数泰勒定理条件，于是有
???0?????0???n??0???n?1??????1????0????????n?1?!1!2!n!应用复合函数求导法则，可求得??t?的各阶导数
???????m??t???h?kf?x0?th,y0?tk???x??y??m?0???1? .
?m?1,2,?,n?1?.
当t?0时，则有
???????m??0???h?kf?x0,y0???x??y???????h?k及??n?1????????x??y??n?1m?m?1,2,?,n?,
f?x0??h,y0??k?.
易见
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泰勒公式的证明及其应用
?????f?x0?h,y0?k??f?x0,y0???h?k??x?f?x0,y0???y??1????1??????????h?kfx,y???h?kf?x0,y0?00????2!??x?y?n!??x?y?2n
1???????h?k??n?1?!??x?y??n?1f?x0??h,y0??k?，
这就是二元函数f在点P0的n阶泰勒公式.
4.2 二元函数泰勒公式的应用
二元函数的泰勒公式在判断二元函数极值方面有着重要的作用.
定理3[2] 设二元函数f在点P0?x0,y0?的某邻域U?P0?内具有二阶连续偏导数，且P0是f的稳定点，则当Hf?P0?是正定矩阵时，f在P0取得极小值；当Hf?P0?是负定矩阵时，f在P0取得极大值；当Hf?P0?是不定矩阵时，f在P0不取得极值. 其中Hf?P0??fyx?P0?fxx?P0?fyy?P0?fxy?P0?.
证明 由f在P0处的2阶泰勒公式，并注意到fx?P0??fy?P0??0，有
f?x,y??f?x0,y0??1??x,?y?Hf?P0???x,?y?T???x2??y2. 2??当Hf?P0?是正定矩阵时,对任何??x,?y???0,0?，恒有二次型
??x,?y?Hf?P0???x,?y?T因此存在一个与?x,?y无关的q，使得
?0,
??x,?y?Hf?P0???x,?y?T?2q?x2??y2,
??从而对充分小的U?P0?，只要?x,y??U?P0?就有
f?x,y??f?x0,y0??q?x2??y2???x2??y2
即f在P0取得极小值.
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??????x2??y2?q???1???0，
??