泰勒公式的证明及其应用
f???0?2f?n??0?nf?x??f?0??f??0?x?x???x?Rn?x?,
2!n!f?n?1????n?1Rn?x??x,其中?在0与x之间，称此式为带拉格朗日余项的麦克劳林公式.
?n?1?!拉格朗日余项有四种常见的证明方法. (1)利用泰勒中值定理证明
根据柯西中值定理我们有如下的证明方法. 因为f?x??f?x0??f??x0??x?x0??f???x0??x?x0?2?? 2!
f?n??x0?f?n?1????n?x?x0???x?x0?n?G?x??G???? ?n!n!G????f?n?1????其中Rn?x???x?x0?n?G?x??G????. n!G????函数G?t?在以x与x0为端点的闭区间I连续，在其开区间可导，且G??t??0.取
G?t???x?t?n?1，满足定理要求，有
G??t????n?1??x?t??0，G?x??0,G?x0???x?x0?nn?1,
f?n?1????将它们代入Rn?x?之中，有Rn?x???x?x0?n?1，?在x与x0之间. ?n?1?!（2）利用柯西中值定理证明
根据柯西中值定理我们有如下的证明方法. 首先记F?t??f?t???k?1nf?n?1??t?f?k??t?k?x?t?n. ?x?t?，且F??t??n!k!n?1?x?t?建立辅助函数??t????x?x??0??且??x??0,??x0??1，可得
n?x?t?. ???t????n?1?n?1?x?x0?在区间?x,x0?（不妨设x?x0）运用柯西中值定理得
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泰勒公式的证明及其应用
????x,x0?,F????F?x0??F?x???F?x0??F?x?. ???????x0????x?将F????,?????代入上式可得
f?n?1???? ?x???n???n?1??x???n?1?F?x0??f?x??, n!?x?x0?n其中F?x0?即为f?x?在x0处的n次泰勒多项式，记为Tn?x?.
故得
f?n?1?????x?x0?n?1. f?x??Tn?x???n?1?!(3)利用罗尔定理证明
根据罗尔定理我们有如下的证明方法. 对于给定的x，x0，不妨设x?x0，并设
f???x0?f?n??x0?2?x?x0?????x?x0?n??x?x0?n?1H f?x??f?x0??f??x0??x?x0??2!n!并做辅助函数
f???u?f?n??u?2?x?u????F?u??f?u??f??u??x?u???x?u?n??x?u?n?1H. 2!n!因为f?x?在U?x0?内具有直到n?1阶连续导数，故F?u?在?x0,x?上连续可导，且
F?x??F?x0??f?x?.
由罗尔定理得????x0,x?，使F?????0，即
n?x???
n!f?n?1??????n?1??x???H?0，
nf?n?1????由此解得H?,???x0,x?，亦即
?n?1?!f?n?1?????x?x0?n?1,???x0,x?. Rn?x???n?1?!(4)利用积分余项推导
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泰勒公式的证明及其应用
根据已知的积分余项我们可以有如下的证明方法.
1xn我们已知积分型余项Rn?x???f?n?1??t??x?t?dt.
n!x0由于f?n?1??t?连续，?x?t?在?x0,x?（或?x,x0?）上同号,由积分中值定理得
nRn?x??x1?n?1?????x?x?t?ndt?1f?n?1?????x?x0?n?1. f0?n?1?!n!比较分析证明拉格朗日余项的四种方法，可以看出都是利用中值定理（泰勒中值定理、柯西中值定理、罗尔定理、积分中值定理）来进行证明的.前三种的关键都是找到合适的辅助函数，而第四种方法是应用已知道积分余项来推导，主要是依据了推广的积分中值定理.
2.3 柯西余项
若函数f?x?在U?x0?内存在n?1阶的连续导数，则?x?U?x0?有
f???x0?f?n??x0?2?x?x0?????x?x0?n?Rn?x? f?x??f?x0??f??x0??x?x0??2!n!? ???3?
f?n?1?????x???n?x?x0?，其中?在x与x0之间，称?3?式为f?x?在x0带柯西余项Rn?x??n!的泰勒公式.
当x0?0时，?3?式变成
f???0?2f?n??0?nf?x??f?0??f??0?x?x???x?Rn?x?，
2!n!f?n?1???x??1???nxn?1，其中0???1，称此式为带柯西余项的麦克劳林公式. Rn?x??n!柯西余项有两种常见的证明方法. (1) 利用泰勒中值定理证明
根据泰勒中值定理我们有如下的证明方法.
做辅助函数G?t??x?t，它满足泰勒中值定理的要求，有
G??t???1?0,G?x??0,G?x0??x?x0
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泰勒公式的证明及其应用
f?n?1?????x???n?x?x0?，?在x与x0之间. 将他们代入Rn?x?，有Rn?x??n!（2） 利用柯西中值定理证明
根据柯西中值定理我们有如下的证明方法. 记F?t??f?t???k?1nf?n?1??t?f?k??t?k?x?t?n. ?x?t?，且F??t??n!k!做辅助函数??t??x?t1，且??x0??1,??x??0,???t???,??t?,F?t?在区间?x,x0?x?x0x?x0（不妨设x?x0）运用柯西中值定理
????x,x0?,F????F?x0??F?x???F?x0??F?x?.
???????x0????x?把F????,?????代入上式可得
f?n?1?????x???n??1?F?x0??f?x?? n!x?x0其中F?x0?为f?x?在x0处的n次泰勒多项式，记为Tn?x?.故有
f?n?1?????x???n?x?x0? f?x??Tn?x??n!比较分析柯西余项的两种证明方法，容易得知证明方法大致与拉格朗日余项的前两种证明方法类似，依据的是柯西中值定理和泰勒中值定理，关键依然是找到合适的辅助函数.
2.4 积分余项
若函数f?x?在U?x0?内存在n?1阶的连续导数，则?x?U?x0?有
f???x0?f?n??x0?2?x?x0?????x?x0?n?Rn?x? f?x??f?x0??f??x0??x?x0??2!n!? ???4?
Rn?x??1x?n?1?n????ftx?tdt称?4?式为f?x?在x0带积分余项的泰勒公式. ?x0n!积分型余项有两种常见的证明方法.
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泰勒公式的证明及其应用
(1)利用莱布尼茨公式证明
根据莱布尼茨公式我们有如下的证明方法.
xx?我们有 f?x??f?x0???f??t?dt???f??t??x?t?dt
x0x0x
??f??t??x?t?x??f???t??x?t?dtx0x01x2?????f?x0??x?x0???f?t??x?t?dt2x0??
11x2x2f???t??x?t???f????t??x?t?dtx022x0
x?1123????????f??x0??x?x0??f???x0??x?x0??ftx?tdt?x022?3?f??x0??x?x0???? ?f??x??x?x??1f???x??x?x?2???
000021nf?n??x?x0??Rn?x?，
2?3?n1xn由上式可得到Rn?x???f?n?1??t??x?t?dt
n!x0（2）利用分部积分法证明
根据分部积分法我们有如下的证明方法.
因为f?x?在U?x0?内具有直到n?1阶连续导数 ，令
???u?t???x?t?,v?t??f?t?,t??x0,x?（或t??x,x0?）.
n由分部积分法有
?xx0u?t?v?n?1??t?dt??u?t?v?t??u??t?vnx?n?1??t??????1?nu?n??t?v?t??xx???1?0n?1?xx0u?n?1??t?v?t?dt，
所以
nnn?1?n?1??n?1??n?????????????t???x?tftdt?x?tft?nx?tf?x xx?n!f?t????0?f?t?dtxx000f??x0??x?x0???n!f?x??n!?f?x0????1!?
?n!Rn?x??f?n??x0??x?x0?n??n!?
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