泰勒公式的证明及其应用
同理可证当Hf?P0?是负定矩阵时，f在P0取得极大值.
当Hf?P0?是不定时，假设f在P0取得极值（不妨设极大值）,则沿任何过P0的直线
x?x0?t?x,y?y0?t?y, f?x,y??f?x0?t?x,y0?t?y????t?在t?0取极大值.
由一元函数取极值的充分条件，????0??0是不可能的,否则，?在t?0将取极小值，故????0??0.
因为???t??fx?x?fy?y，????t??fxx?x2?2fxy?x?y?fyy?y2所以
????0????x,?y?Hf?P0???x,?y?T,
这表明Hf?P0?是负定的，与条件矛盾,假设不成立.
当Hf?P0?是不定矩阵时，f在P0不取得极值. 例9 求f?x,y??x2?5y2?6x?10y?6的极值. 解 由方程组
?fx?2x?6?0,?f?10y?10?0 ?y得f的稳定点P0?3,?1?.
由于fxx?P0??2,fxy?P0??0,fyy?P0??10,得Hf?P0?正定，故f在P0取得极小值
f?3,?1???8.
因为f处处存在偏导数，故P0?3,?1?是f的唯一极值点.
结束语
在初等函数中，多项式函数是最简单的函数，而泰勒公式正是以简单的多项式函数替代了复杂的无理函数和初等超越函数等复杂的函数.泰勒公式不仅可以简化计算还可以判断函数的一些性质，在函数逼近论中有着广泛的应用.
参考文献
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泰勒公式的证明及其应用
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致谢
此篇论文得以完成,首先要感谢许洪范老师的细心指导。从毕业论问的选题到完成，许老师给予了我耐心指导与细心关怀，许老师有严肃的科学态度，严谨的治学精神和精益求精的工作作风，这些都是我所需要学习的，感谢许老师给予了我这样一个学习机会，谢谢！在此，对许老师表示衷心的感谢，同时对帮助过我的每个人表示感谢。
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