泰勒公式的证明及其应用
1x?n?1?n?Rn?x???ft??x?t?dt.
n!x0证明积分型余项的两种方法一种是运用牛顿-莱布尼茨公式，一种是利用推广的分
部积分的方法，都是浅显易懂的.
3 泰勒公式的应用
泰勒公式在近似计算中有着独特的优势，故而有着较为广泛的应用. 在应用中常见的泰勒展式如下，
x2xne?xe?1?x?????xn?1 ?0???1?,
2!n!?n?1?!xx3x5x2n?1nsinx?x???????1???x2n?2,
?2n?1?!3!5!??n?1x2x3nxln?1?x??x???????1???xn?1,
23n?1??1?1?x?x2???xn??xn . 1?x??3.1 利用泰勒公式证明不等式
利用泰勒公式证明不等式的关键在于?确定在哪一点x0将函数展开?将函数展到第几项为止.
3.1.1 泰勒公式在含有定积分的不等式中的应用
例1 设f?x?在?a,b?上单调增加，且f???x??0，证明
?baf?x?dx??b?a?f?a??f?b?.
2分析 ?因为不等式右边出现了f?a?与f?b?，可以联想到在x0?a，x0?b分别展开?由已知条件的f???x??0，可以猜想到展开到第二项即可，带拉格朗日余项.
证明 对?x0??a,b?，f?x?在x0处的泰勒公式为 f?x0??f?x??f??x??x0?x??f??????x0?x?2 其中?在x0与x之间. 2因为f??????0,所以f?x0??f?x??f?x??x0?x?,将x0?a,x0?b分别带入得
9
泰勒公式的证明及其应用
f?a??f?x??f??x??a?x?,f?b??f?x??f??x??b?x?.
将两式相加可得,f?a??f?b??2f?x???a?b?f??x??2xf??x?. 再对上式两天同时在?a,b?求定积分得,
?b?a??f?a??f?b???2?f?x?dx??a?b??f??x?dx?2?xf?x?dx.
aaabbb故有,?f?x?dx??b?a?abf?a??f?b?.
23.1.2 泰勒公式在含有导函数的不等式中的应用
例2 设函数f?x?在?a,b?上二阶可导，且f??a??f??b??0，试证存在一点???a,b?，使得f??????4f?b??f?a?.
?b?a?2分析 ?由题意f??a??f??b??0，可见x0应取a，b?f?x?在?a,b?二阶可导，可知至多展到第三项.
证明 在x0?a，x0?b处应用泰勒公式得
f????1??x?a?2?1??a,x?2
f????2??x?b?2?2??x,b?f?x??f?b??f??b??x?b??2f?x??f?a??f??a??x?a??若取x?a?b，且因为f??a??f??b??0，上式变为 2?a?b?f????1??a?b?f?a??f?????222????2?1??a,2??a?b??， 2??a?b?f????2??a?b?f?b??f?????222????从而f?b??f?a???2???a?b?,b?, ?2?2?a?b?f????2??f????1???f????2??82?a?b?f????1??.
8取f????maxf??1?,f??2?故有
???f??1??f??2??2f???,且????1,?2???a,b?.
10
泰勒公式的证明及其应用
f??????4f?b??f?a?. 2?b?a?3.2 利用泰勒公式求函数值与函数极限
在求函数值与函数极限的过程中，可以利用泰勒展开式来替换，以简化计算.在求高阶导数时可以利用泰勒公式直接求得.
例3 求极限limx?0x22cosx?ex4?.
分析 利用麦克劳林展开式，由所求的式子分母的x4可见，泰勒展开式应该展到第5项，且带佩亚诺余项，若用洛比达法则求解，要使用四次.
解 根据麦克劳林展开式有
xxcosx?1????x4 , e22424???x22x2x4?1????x4.
28??x4????x4?1??. 故原式=lim124x?0x12
例4 求?e01?x2dx的近似值，精确到10?5.
22分析 所求的e?x的在?0,1?定积分是不能直接求出的，可以利用e?x的麦克劳林展式，得出其近似估计.
解 由泰勒公式有 e故逐项积分得
2nx4n1xdx?? ?0edx??01dx??0xdx??0dx?????1??02!n!1?x21121?x22nx4nx?1?x??????1???.
2!n!21111n1???1???????1???
32!5n!2n?11111111?1?????????.
310422161320936075600从上式可以看出，等式的右端是一个收敛的交错级数.由其余项Rn的估计式
11
泰勒公式的证明及其应用
知Rn?1?0.000015 , 已经满足精确到10?5. 756001111111?x2????0.746836. 故有?edx?1???03104221613209360例5 求函数f?x??x2ex在x?1处的高阶导数f?100??1?.
分析 直接求f?100??x?不太现实，这里可以利用泰勒公式.泰勒公式通项中的?x?x0?n的系数正是
1?n?f?x0?，可以直接求得f?n??x0?，不必依次求导. n!222解 设x?u?1，则f?x???u?1?eu?1??u?1?e?eu，记g?u???u?1?e?eu, 故有f?n??1??g?n??0?.
u98u99u100????u100，从而 因为e在u?0的泰勒公式为e?1?u??98!99!100!uu???u98u99u100100g?u??eu?2u?1?1?u???????u?98!99!100!??2??????.
?因为g?u?泰勒展开式中含u100g?100??0?100u，与上式相比较 的项应该为
100!21?100g?100??0?100?1e???u. ?u?!?100!?98!99!100故有f?100??1??g?100??0??10101e.
3.3 利用泰勒公式讨论函数的凹凸性，判别拐点
泰勒公式也可以用来研究函数的凹凸性及拐点.先给出相关的定理及其证明. 定理1 设f?x?在?a,b?上连续，在?a,b?上具有一阶和二阶导数．若在?a,b?内，
f???x??0，则f?x?在?a,b?上的图形是凸的．
证明 设c?d为?a,b?内任意两点，且?c,d?足够小。x1?x2为?c,d?中的任意两点，记x0??x1?x2?2.
由定理条件得泰勒公式
22f?x??f?x0??f??x0??x?x0??f???x0??x?x0?2!???x?x0?.
?? 12
泰勒公式的证明及其应用
由此可得
f?x1??f?x2??2f?x0??f??x0??x1?x0??f??x0??x2?x0??
f???x0??x1?x0?f???x0??x2?x0?22 ????x1?x0????x2?x0?.
2!2!22????因为余项为?x?x0?的高阶无穷小，?x1,x2?足够小， 所以泰勒公式中应该有
222f???x0??x?x0?2!???x?x0?的符号与f???x0?相同.
??又因x0??x1?x2?2，所以f??x0??x1?x0??f??x0??x2?x0??0，可得
f???x0??x1?x0???x2?x0?22 f?x1??f?x2??2f?x0?????x1?x0????x2?x0?
2!22??????即f?x1??f?x2??2f?x0??0，得f?x0???f?x1??f?x2??2.
由x1,x2的任意性，可得f?x?在足够的区间?c,d?上是凸的.
再由c,d的任意性，可得f?x?在?a,b?内任意一个足够小的区间内部都是凸向的. 证得f?x?在?a,b?上的图形是凸的.
定理2 若f?x?在某个U?x0,??内n阶可导，且满足
f??x0??f???x0????f?n?1??x0??0，且f?n??x0??0,?n?2?
若1）n为奇数，则?x0,f?x0??为拐点； 2）n为偶数，则?x0,f?x0??不是拐点.
证明 f???x?在x0处的泰勒公式为
f?n??x0??x?x0? f???x??f???x0??f????x0??x?x?????n?2?!因为f??x0??f???x0????f?n?1??x0??0，则
n?2???x?x0??n?2?.
f???x??f?n??x0??x?x0?同样余项是x?xn?2?n?2?!????x?x0?n?2?，
??n?2的高阶无穷小,所以f???x?的符号在x0的?心领域内与
13