§11—3 有电介质时的高斯定理 有电介质时，应用高斯定理：
??1 ?E?dS?S?0S内??由?q????P?dS，有：
S内S?(q0?q?)
?S???(?0E?P)?dS??q0
S内???故定义电位移矢量D??0E?P
??????D??0E?P?(1??)?0E??r?0E??E 其中?r为相对电容率，?为电容率，???r?0
??有：?D?dS??q0
SS内??(1) 有电介质时的高斯定理适用范围更广 真空中D??0E (2) 真空?r?1，空气?r?1，一般物质?r?1
???(3) 电位移矢量D??0E?P与束缚电荷有关，其通量只与自由电荷有关 (4) 电位移线从正自由电荷发出，在负自由电荷终止
例1．空间中充满电容率为?的电介质，其中有一个点电荷q，求场强分布。 解：电场仍然具有球对称分布
选取一个以点电荷为球心、半径为r的球面作为高斯面，则通过高斯面的电位移通量为：
??2D?dS?D?4?r ?S?q由高斯定理，有： ?? ?D?dS?D?4?r2?q
Sr?E?D16
D?q 24?rDqE?? 2?4??r例2．无限长带电直导线周围充满电介质?，求场强分布。 解：电场仍然具有轴对称分布
选取一个过场点P、以带电直导线为轴、半径为r、长为l的圆柱面作为高斯面，通过高斯面的电位移通量为：
??D??dS?D?2?rl
S??P由高斯定理，有： ???D?dS?D?2?rl??l
S?E?D?E?D? 2?r?E?
2??rD?练习1、点电荷q外包围着以q为球心、R为半径的一个介质球?，求场强分布。 解：电场仍然具有球对称分布
选取一个以点电荷为球心、半径为r的球面作为高斯面，则通过高斯面的电位移通量为：
??2D?dS?D?4?r ?S?qR由高斯定理，有： ?? ?D?dS?D?4?r2?q
S?E?DD?q 4?r2Dr?R时，E?r?R时，E??D?q4??r2
?0?q4??0r217
练习2、如图，已知两导体板面积为S、自由电荷面密度为??，两板之间平行地放置两块相同面积的电介质板，其相对电容率和厚度分别为?r1、?r2、d1、d2。
??求各介质内的D、E。
??????解：设两介质内的D、E分别为D1、E1，D2、E2
如图取高斯面，设其底面积为?S，由高斯定理有：
?? ?D?dS??D1?S?D2?S?0
S1?r1?r2 ∴D1?D2
?? ?D?dS?D1?S???S
S2S1 ∴D1?? 故D1?D2?? E1?
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S2??d1d2????，E2?
?0?r2?0?r1§11—4 电容 电容器 一、孤立导体的电容
孤立导体即导体周围没有其他导体和带电体
设一个孤立导体带电q，电势为V，则理论和实验都表明：随着q增加，V按比例增大，则定义：
C?q V(1) 物理意义：使导体每升高单位电势所需要的电量 (2) 单位：法拉F，1F?1C/V，?F，pF
(3) 电容C是与导体的形状、大小有关的一个常数，与q、V无关 例1．求半径为R的孤立导体球的电容
解：设孤立导体球带电q，则由静电平衡条件，电荷分布在导体球的表面上，形成一个均匀带电球面，其电势为：
V?q4??0R
∴C?q?4??0R V电容为1F的导体球半径：R?二、电容器及其电容
14??0?9?109m!
1．电容器：两个带有等量异号电荷的导体所组成的系统
电容：两导体中任何一个导体所带电荷与两导体间电势差U的比值 C?q U(1) 两导体常被称作电容器的两极板
(2) 电容器的电容与两导体的尺寸、形状、相对位置有关
(3) 通常在电容器两金属极板间夹有一层电介质，也可以就是空气或真空。电介
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质会影响电容器的电容。 2．在不考虑电介质的情况下
(1)平行板电容器：由两块彼此靠得很近的平行金属极板构成 设两极板带电量为?q，电荷面密度为??板间电压为：
B??qd U??E?dr?Ed?
A?0Sq?，板间为均匀电场E?，则两S?0??????A——————B由电容定义可得：C??0Sd
其中d为两极板间距离，S为两极板面积
(2)同心球形电容器：由两个同心球形导体组成，设其半径分别为RA、RB 设两极板带电量为?q，由高斯定理可知，两导体之间场强为E?向沿径向，则两极板间电压为： U??Bq4??0r2，方
?qBr?qAA??RBE?dr??RAq4??0r2dr?q4??0(11?) RARBRA4??0RARB由电容定义可得：C?
RB?RARB练习、同轴柱形电容器：由两个同轴柱形导体组成，设其半径分别为RA、RB，长度为L。当L??RB?RA时，忽略其边缘效应，可把圆柱形看作无限长 设两极板带电量为?q，由高斯定理可知，两导体之间场强为E??，?为2??0r电荷线密度，方向在垂直于轴的平面内并沿径向，则两极板间电压为：
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