U??BA??RBE?dr??RAR??dr?lnB 2??0r2??0RAA????rBL2??0Lq由电容定义、??，可得：C?
RLlnBRA3．考虑电容器两极板间充满电容率为?的电介质 以平行板电容器为例
lRARB作高斯面为垂直于极板的圆柱面，底面积为?S，如图所示，由有电介质时的高斯定理可得：
?? ?D?dS??q0
SS内 D??S????S D??
S+QDd?r? E?
?两极板间电压为：U?Ed?电容为：C?qd ?S-Q ?Sd??r?0Sd
即：充满电介质的电容器电容增大为无电介质时的?r倍 三、电容器的并联和串联 1．并联
设加在电容器上的电压为U，则所有电容器上总电量为： q?q1?q2???qn
?C1U?C2U???CnU ?(C1?C2???Cn)U
??
_C1?q1?q1C2?q2C?q2n?qn?qn21
总电容为：C?q?C1?C2???Cn U即：并联后总电容增大，相当于电容器S增大、d不变
各电容器上电压相等，并联后容纳电量的能力增大 2．串联
设各电容器上的电量为q，则有： q?C1U1?C2U2???CnUn 所有电容器上总电压为： U?U1?U2???Un ?qqq ????C1C2Cn111????) C1C2Cn1U111 ??????CqC1C2Cn?q?q?q?q?q?qC1C2Cn??? ?q(总电容为：
即：串联后总电容减小，相当于电容器S不变、d增大
各电容器上电量相等，串联后总耐压能力增大
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§11—5 静电场的能量 能量密度 以平行板电容器为例 一、电容器的电能
设一个电容为C的电容器正在充电
充电过程：最初两极板不带电，在外电场的作用下，正电荷从右边极板开始沿电场线移动，到达电源负极后，必须依靠电源内部非静电力的作用才能从负极到达电源正极，然后从正极开始仍沿电场线移动到左边极板。这样，使得左边极板带正电、右边极板带负电，实现对电容器的充电。可以看到，通过电源内部非静电力做功，使得正电荷dq的电势能增大，也是把其他形式的能量转化为了电能。 放电过程：同样是正电荷dq在电场力的作用下沿电场线从正极板移动到负极板，和负电荷中和，实现放电过程。
设充电过程中某一时刻，两极板间电势差为u，两极板上电量为q，则有u?此时把正电荷dq由负极板移动到正极板，则非静电力做功为：
dW?udq?qdq Cq。C???????dq??F非静电??dq???????设最终（充电完毕）两极板间电势差为U，所带电量为Q，则非静电力所作总功为：W??dW??Q0qQ211dq??QU?CU2 C2C22非静电力克服静电力做功，把非静电能转化为电容器的电能，即：
Q211We??QU?CU2
2C22二、静电场的能量 能量密度
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电容器的电能为：
We?11?S11CU2?(Ed)2??E2Sd??E2V 22d22其中V?Sd为电容器两极板间电场所占空间的体积。这一变换式说明，电能分布在电容器两极板间的电场中，能量密度（单位体积内的电场能量）为：
we?12?E 2以上各式虽然由平行板电容器推导出来，但是普遍成立。 当电场不均匀时，电场能量为：
We??wedV??VV12?EdV 2例1．求均匀带电导体球的静电能，设其半径为R，所带电量为q，球外为真空。 解：由静电平衡条件可知，导体球所带电荷均匀分布在表面，形成一个均匀带电球面。其电场分布为：
r?R时，E?0 r?R时，E?q4??0r2，方向沿径向
故有：We???112q22?EdV???0()4?rdr 2V2R24??0rq2 ?8??0 ?1?Rr2dr
?q28??0R
q4??0R也可把该导体球与无穷远处的一个导体看作一个电容器，其电压为U?，
1q2故其电能为：We?QU?
28??0R24
练习1．试比较真空中均匀带电球面与均匀带电球体的电能 解：We??wedV??VV12?EdV 2均匀带电球面的电场分布为：
r?R时，E?0 r?R时，E?q4??0r2，方向沿径向
均匀带电球体的电场分布为：
r?R时，E?qr，方向沿径向 34??0Rq4??0r2r?R时，E?，方向沿径向
?112q22?EdV???0()4?rdr 2V2R24??0r可知均匀带电球面的电能为：We??均匀带电球体的电能为：
R1?112qrq22We???EdV???0()4?rdr??()24?r2dr 032?V202R24??0R4??0r故均匀带电球体电能较大
练习2．一平行板空气电容器，极板面积为S，极板间距为d，充电至带电Q后与电源断开，然后用外力缓缓地把两极间距拉开到2d，求电容器能量的改变。若电容器始终与端电压为V的电源相连，则电容器电能又如何改变？
?SQ2解：若充电至带电Q后与电源断开，则由We?、C?可知，电容器电能
d2C增倍。若电容器始终与端电压为V的电源相连，则由We?电容器电能减半。
1?SCU2、C?可知，2d 第11章结束
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