2009智轩考研数学创高分红宝书系列---高等数学
初等函数：由7个初等函数经有限次四则运算和有限次复合并能用一个式子表达出来的函 数。
?x, 0?x?1非初等函数：如，f?x??x??x??? x??0, 2?
?x?1, 1?x?2七个基本初等函数的定义域与值域及其图形，读者必须掌握，是考试重点。
三、函数的连续与间断
1、函数的连续要求
① f(x)在xo的邻域内有定义； ② limf(x) 存在；
x?x0③ limf(x)?f(x0)
x?x02、函数的间断点
① f(x)在xo邻域无定义；
② limf(x) 不存在，包括f?(x0)和f?(x0)至少有一个不存在的情形；
x?x0③ lim?f(x0)
x?x0?不存在时的不连续点称为：第Ⅰ类间断点。分为以下两类：fx或limfx● 单极限? ?????xlim????xx?x0?0??f?(x0)?f?(x0)?f(x0) 可去间断点（通过改变函数在x0点的定义值） f?(x0)?f?(x0) 跳跃间断点
?存在时的不连续点称为：第Ⅱ类间断点。分为以下两类： fx或limfx● 单极限??????xlim??x?x0??x0???f?(x0)和f?(x0)至少有一个不存在，包含振荡间断点y?sin1与无穷间断点。 x四、重要结论：
?x, x?01．分段函数不一定是非初等函数，如y?f?x????y?x2就是初等函数。
??x, x?02．周期函数定义域不一定是一个区间，如y?cosx?1的定义域为一系列离散的点；不一?1, x?rational 定有最少的周期，如y??没有最小正周期。
0, x?irrational?3．无穷小是指以0为极限的函数；无穷大是指函数的绝对值无限增大，不是一个函数。等
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价无穷小是当x?0时二者比的极限为1，在求极限时，只有在因式情况下可作部分代换。 4．初等函数在其定义域内不一定连续，如y?cosx?1?x?2n?，没有一点存在邻域，故不连续。而初等函数在其定义子区间内一定连续。
五、分段函数的复合与连续性及反函数题型研究
?1, x?1?x【例1】 设g?x??e, f?x???0, x?1 求f?g?x??, g?f?x??。
???1, x?1解：一般方法：如求f?g?x??，先将f?x?的表达式及区间段中的x改写成g?x?，再解关于g?x?的不等式，确定x的取值范围（由g?x?的值域确定x所在区段）。函数代入定义域后变成值域，由该值域找到对应的定义域。
f?x?1, g ?x???1e??1x?0?g?x?xe?1?x? 0??????x?1?0, g?x?1, gx?1?e?1?x?0???? gf?x??e
??f?x??e, x ?1???1, x ? 1??1?e, x?1?2?x2, x?1??1, x?1? ; g?x???【例2】 设 f?x??? 求f?g?x??, g?f?x??。
?0, x?1?2, x?1????1, g?x??1解： f?g?x????
??0, g?x??1??1, x?1 g?x??1只在x?1可能成立?2?x?1, x?1?x?1?f?g?x????
??0, x?122?2?f?x?, f?x??1 恒成立?1, x?1??2 g?f?x???? ?2?f?x???2, x?1????2, f?x??1 不成立
2??x, x?01?x, x?0 ; g?x????x【例3】 设 f?x???x?x??? 求f?g?x??, g?f?x??。
0, x?02???e, x?0
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??x2, x?0?g?x?, g?x??0恒成立?f?g?x?????g?x????x??e, x?0??0, g?x??0不成立2?f?x2, x?0??x?, f?x??0恒成立2g?f?x?????f?x??f?x???, f?x??0不成立?0, x?0??e解：
?ex, x?1?x?2, x?0【例4】 f?x??? 求f?g?x??. ; g?x???2?x, x?1?x?1, x?0g?x???e, g?x??1 解：f?g?x????
??g?x?, g?x??1当g?x??1?f?g?x???eg?x?
1 要么x?0, g?x??x?2?1?x?? 要么x?0， g?x??x2?1?1?0?x?2 当g?x??1?f?g?x???g?x?
要么x?0, g?x??x?2?1??1?x?0
要么x?0，g?x??x2?1?1?x?2 所以：
?ex?2, x??1??x?2, ?1?x?0 f?g?x????x2?1?e, 0?x?2?x2?1, x?2? 2?x, x ??x, x ? 1?; g ?x????2x??1, ? x 2? 讨论5【例5】 f?x???f?g?x??的连续性。 1?1?x, x ??x?3, x ? 5?2解：
?x2, x?1?only this tems??x2, x?1??2?gx, gx?1???1?x, 1?x?2????1?x, 1?x?2f?g?x????????
3?2x, 2?x?5?1?g?x?, g?x??1?1???2?x?1???, 2?x?5???1?x?3, x?5???x?2?, x?5????当x?1,2,5时，f?g?x??分别在相应的区域连续；
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当x?1边界点时，
x?1?x?1?limf?g?x???lim?1?x??0x?1?2x?1?limf?g?x???limx?1故为第一类跳跃间断点；
同理当x?2,5分界点时， f?g?x??都为第一类跳跃间断点；
??1, x?1【例6】 设 f?x??? 求f?f?x??。
??0, x?1??1, f?x??1恒成立解：f?f?x???? =1
??0, f?x??1不成立
【例7】 讨论f?x??111?x的间断点。
解：方法：先找出函数的无定义点，他们一定都是间断点，然后再逐个检查无定义点的极限，从而判断他们所属间断点的具体类型。
无定义点 x?0, 1
limx?0111?x?0为第一类可去间断点； limx?1111?x??为第二类无穷大间断点。
?1?x, 0?x?1【例8】 研究函数f?x???2的连续性。
?x, 1?x?2解：方法：先检查每一个分段上有无间断段；然后检查边界点的单极限；最后检查分界点的左右极限。
0?x0?1时，limf?x??1?x0?f?x0?， 0?x?1连续
x?x0 limfx??0?x???1?0?1f?0x?0右连续 ?，在
同理：f?x?在1?x?2连续，在x?2左连续。
f?1??1?1?0 在分界点x?1： limf?x??12?1?f?1?x?1?0x?1?0
limf?x??1?1?0?f?1?所以x?1为第一类跳跃间断点。
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【例9 】 f?x??????x2 x?0? ,??x??lnx, 求f???ex x? 0???x???的定义域？ 解： f?????x??????ln2x lnx?0?x?1 ??ln2x x?1 ??x lnx< 0?0 【例10】 已知 f?x??sinx, f????x????1?x2, 求??x?的定义域？ 解： sin??x??1?x2???x??arcsin?1?x2? ??1?1?x2?1??2?x?2 ?3?x3 x ???1??x?2?2 x>2解： x ?2?x?2?y=?5x???2x?=y5??2 ?y?37 x>2?y=?1?x??22?x?=2?y1由于 x?>x2?=?2y舍去1 ?x=2+1?y>2?y<1所以，y=f?x? 的反函数为?2+1?x x<1 y=??5?x 3?x?7 ??33?x x?11 【例12】 求 y?1?1?4x1?1?4x的反函数。（提示：设u?1?4x） 解 u?1?4x?y?1?u1?u u?1?y1?y?1?4x?1?y1?y x?1??1?y?2? 4?????1???y???1?y????(1?y)2 故 y??x(1?x)2 10