2009智轩考研数学创高分红宝书系列---高等数学
因为： xn?1?xn?1?xn??xn?x2n?xn??xn??0?x?1?xn?0, 有下界0， 因此?xn?收敛。 令 nlim???xn?x?x?x?1-x??x?0
nnlim???nxn-?nn?nlim???1?nlim-1????11?nlim1???11?nlim????1-xn-1??1x??nxnxn-1xn?1?1?xn?1?xn-1 ○
11 重要不等式： a2?b2?2ab sinx?x?tanx
x?1??x??x?nn?1? ?1?1?n???e???1??1
?1?n??n?1?ln??1?1?1?n???n?n?1?nn?1nn?1
nn!?e??n?1????n?1?n!?e???n!?e???n?1??e??○
12斯特令公式： ??nn!?2n?nn?e?n?e12n 0??n?1 特别地： n????lnn!~n?lnn?1?对所求极限存在阶乘时，利用此公式进行等价代换很方便。
n【例21】 求 I?limn!n???n 解法一：
2n2?n?n?e-1?n?n I?e12nnlim???n?1e
解法二：
?n?n?1?n?1?e???n!?e???n?1??e???1?n??1nnne???n???!n1?n?e?nn1?1lim1??n?
n???e?1??n???1e1n?1
n1nlim???e?nn?1?en由夹逼定理知： n!nlim???n?1e解法三：
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nn!123n1?123n?nlim???n?ln?lnn?lnn???lnn?nlim???n?nlimn???n?n?n?n?e?n?
n1i1 ?en???lim?i?1nlnn?e?0lnxdx?1
e读者比较一下，就知道方便，另外，请放心大胆使用，不要担心阅卷问题。
2、函数极限8大法
① 等价无穷小替换； ② 取指数；
③ 因式分解或根式有理化；
④ 洛比达法则（0?0或?）；
⑤ 变量变换（代数、三角、倒数、根式、同除等）； ⑥ 数学归纳与递推； ⑦ 利用泰勒公式； ⑧ 导数定义。
【例22】 求I?lim??1?x?x??x?????1?x???e??
?解法一：利用罗比达法则
y?1?y?ln?1?y?I??y?1x??lim1?y?1y?e?1?y?1yy2
y?0y?limy?01
1?12?elim?1?y?1?yy?0?e2y2lim?1y?0?1?y?2??e2解法二：利用泰勒展开
I?lim?xln??1?1????x??11?1??x?22?o?2???x??x??e?x??e??lim?x?x?????x??x??e?e????
?limx??e1?1?12x?o???x??x????e???12x?o??1??x?????elimx???1????elimx?1?1??e?x???e??x????1?2x?o??x???1????2【例23】 求 lim(1x?0x2?ctg2x) 解：原式= limsin2x?x2cos2xx?0x2sin2x
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sin2x?x2cos2?limxx?0x2?x2 ?limsinx?xcosxsinx?x?0x?xcosxx3 ?2limsinx?xcosxcosx?cosx?x?0x3?2limxsinx2x?03x2?3
1xxx【例24】 lim?a?a2?????an?xx?0?1?n?? 提示：利用ax~xlna?1
11 解：原式=limexln??a1x?????anx?n??1??n???ln?1?xlna1a2???an?1x??n??xn1a2???anx?0?limx?0e?lim?xlnax?0e?na1a2???an
3【例25】 lx2x??im(x??22x??1x )3解：原式=limx??x2??1?x?2?x?1?1?x?1?x?? 3?limx2?x?x?2x??(x?2?x?1)(x??1x)3 ?li2?2x??mx(x?2?x?1)(x??1xx)(?x? 2)3?limx2?2x??2x?2x?2x??14
【例26】 I?lim(sin2x??x?cos1x)x 解：I?limexp?21x????xln???sinx?cos?x?????
sin21x?cos?1 ?explimxx??1 t?1x exp(limsin2tt?0t?limcost?1t?0t)
x?exp(2?0)?e2【例27】 设1?a1?7, an?1?an?7?an?, ?n?1,2,??，证明 limn??an存在，并求此极限。
证明： 采用归纳法，先考虑?an?的有界性，再考虑单调性。
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177?a? ?a??1122717假设：an?，则an?1??an?7?an??，故?an?有界。
222 a2?a1?7?a?1?an?7?an?an?17???1?2?1?1，故?an?单调。 又，ananan 所以，liman存在。记liman?A。
n??n??7由极限的唯一性，对an?1?an?7?an?两边同时取极限，得 A?A?7?A??A?0, .
27再由极限的保序性。得A?1，所以liman?。
n??21?f?x?hx???ex，【例28】 已知f?x?在?0, ???内可导，f?x??0, limf?x??1，且有lim????h?0x???f?x??1h求y?f?x?。 解：
1?f?x?hx??lnf?x?hx??lnf?x?1lnf?x?hx??lnf?x?1xlim??e?lim??lim?2??h?0?h?0h?0hxhxx ?f?x??
11??limf?x??1dlnf?x?1x????2?f?x??Cex?????f?x??exdxx1h
【例29】 求 I?lim
解：
x????6x6?x5?6x6?x5
??161?61?I?limx??1???x????xx????1121?1????1??? ?limx??1??o1?????1??o2?????limx??x???x???6x3?x???6x?x?????6x?2?【例30】 求 I?limx??
x?0?x?
解：对于取整函数有以下两个结论：1）x?1??x??x
2）lim?x??0; lim?x???1
x?0?x?0-
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?2?1)x?0??2x?x???2???2 x?1???2?2??x??x???x???? ??2)x?0??2x?x??2??x???2 lx??im??2?x? 2 利用夹逼准则得：I?lim?2?x?0x??x???2
??ln?2?1?ex????【例31】 已知 I?lim???x?0?1?a?x??存在，求I，a。 ??ln?1?ex??????????ln?2?1?ex?? u?12e2u解：lim??xx?0- lim1?e2u?lim2?eu?e2u??0 ln?1 ?u????1?ex?euu???1?e2u???1?eu xl?i0m?a?x???a
ln?2?1?ex?? u?12e2uu2u-uxlim???0?1 ?x lim1?e2u2?e?e?2?e?1?u?lim2u?lim-2u?2 ln?u????1?ex?eu???1?eu???1?e???1?euxlim?0?a?x??0
当且仅当a??2时，原极限存在，故 I?2
232】 设f?x?在x?0某邻域可导，f?0??1, f??0??2，求I?lim?f??1??n??1?cos1??n?????n????n?? 解：
根据
x?1n，等价求 2xI?lim1?cxos陈氏第一技lim?f?x?-1?2x1x?0?f?x???????I?ex?0?cosx
xlim?0?f?x?-1?2x
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解：
20
【例
【例