2009智轩考研数学创高分红宝书系列---高等数学
?1?2b?sinx??1?b2?sin2x1?sinx?sin2x?(1?bsinx)lim?lim2x?0x?0sinxsin2x??1?sinx?sin2x?(1?bsinx)??? x?0??1?sinx?sin2x?(1?bsinx)??2??1x?0??1?2b??0?b?, 才能保证极限存在.2【例46】 求lim?n??i?1n
1 i2?1n?n1解：原式=lim??n??i?1nn1 2i?11?2ni2i2?1(i?1)2?2? 22nnn1lim??n??i?1nn12?i?1????n?nn?11111 lim???lim??22n??n??i?1ni?2n?i?1??i?1??1?????n??n?????1dx1111?????????lim??2201?x2n???n?1?n?n?1??41???1?????nn??????由夹逼准则知，原极限=
??dx??01?x241? 4x3?【例47】求极限I?limx?0?2x0t?xsintdt
解：
I?lim?x?0?0?x?t?sintdt??x?t?x?sintdtx3x2x
??x??f?x,y?d??x?f?x,y?dy??dy?f?,x?????f,?x???? 根据定理（见同济五版Page121）：??x?x????dx?x
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3x22sinx?4xcosx12?lim???1x?0?6x33
x?0I?lim??x0sintdt??sintdt?2xsin2xx2x?lim?x?0sinx?2sin2x?sinx?2sin2x?4xcosx6x
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第一章 函数、极限和连续模拟题
一填空题 1、limcot?1x?x??sinx?1?0x???
2、设lim??x?2a?xx?a???8，则a＝ x???
1３、lim)x?0?cosx?ln(1?x2?
４、lim(n?1n??n)(?1)n? 3sinx?x2cos1５、limxx?0(1?cosx)ln(1?x)?
６、lim(11x?0x2?xtanx)?
７、limxln(1?x)x?01?cosx? ８、设a?1n?2na?12，则limn??ln[n(1?2a)]n? ９、lim(n??n?3n?n?n)?
１０、lim3x2?5x??5x?3?sin2x? １１、若limsinxx?0ex?a(cosx?b)?5，则a＝ ，b＝
１２、设函数
f(x)?ax(a?0,a?1)，则lim1n??n2ln[f(1)f(2)?f(n)]? １３、若a?0,b?0均为常数，则lim(ax?bx3)xx?02? 1１４、已知当x?0时，(1?ax2)3?1与cosx?1是等价无穷小，则常数a?
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?f(x)?asinx, x?0x?0?１５、设f(x)有连续的导数，f(0)?0，且f?(0)?b，若函数F(x)??在x??A, x?0处连续，则常数Ａ＝ 。
二、选择题
１、设函数f?x??xtanxesinx，则f?x?是
（Ａ）偶函数 （Ｂ）无界函数 （Ｃ）周期函数 （Ｄ）单调函数 ［ ］
２、设对任意的x，总有??x??f?x??g?x?，且lim[g?x????x?]?0，则limf?x?
x??x??
（Ａ）存在且等于零 （Ｂ）存在但不一定为零 （Ｃ）一定不存在 （Ｄ）不一定存在 ［ ］ ３、设limx?0atanx?b(1?cosx)cln(1?2x)?d(1?e?x)2?2，其中a2?c2?0，则必有
［ ］
（Ａ）b＝４d （Ｂ）b＝－４d （Ｃ）a＝４c （Ｄ）a＝－４c
?n2?n,若n为奇数，??n４、设数列xn??则当n??时，xn是
?1，若n为偶数，??n（Ａ）无穷大量 （Ｂ）无穷小量 （Ｃ）有界变量 （Ｄ）无界变量 ５、设f?x??sinx［ ］
?0sin?t2?dt, g?x??x3?x4,则当x?0时，f?x?是g?x?的
（Ａ）等价无穷小 （Ｂ）同价但非等价的无穷小 （Ｃ）高价无穷小 （Ｄ）低价无穷小
［ ］
6、设f?x?有连续的导数，f?0??0,f??0??0,F?x???x2?t2f?t?dt,且当x?0时，0x??F??x?与xk是同价无穷小，则k等于
（Ａ）１ （Ｂ）２ （Ｃ）３ （Ｄ）４
［ ］
7、设f?x??2x?3x?2,则当x?0时
（Ａ）f?x?与x是等价无穷小 （Ｂ）f?x?与x是同价但非等价无穷小 （Ｃ）f?x?是比x更高价的无穷小 （Ｄ）f?x?是比x较低价的无穷小
[ ]
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?1??ex?e??tanx8、函数f?x?????在［－?x?1，?］上的第一类间断点是x＝??ex?e?????
（A）0 （B）1 （C）??2 （D）
?2 [ ] ?f??1?9、设f?x?在?－?，＋??内有定义，且lim??x??, x?0,??f?x??a, g?x????0, x?0,则
x? （A）x?0必是g?x?的第一类间断点（B）x?0必是g?x?的第二类间断点
（C）x?0必是g?x?的连续点 （D）g?x?在x?0处的连续性与a的取值有关[ ]
10、设函数f?x?在x＝0处连续，且limf?h2?h?0h2?1,则
（A）f?0??0且f???0?存在 （B）f?0??1且f???0?存在 （C）f?0??0且f???0?存在 （D）f?0??1且f???0?存在 [ ]
三、解答题
1x2xnx1、求极限lim?e?e???e?xx?0??n??2、求lim?x?o?1cos2x??sin2x?x2??.3、求lim?1?x1?x?o??1?e?x?x??
4、求极限limxx?o?x?e?1x15、求极限xlim????x?1?x2?x6、求极限limlncos?x?1?x?1
1?sin?2x7、求极限lim?x????x?x2ln??1???1?x????
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