2009智轩考研数学创高分红宝书系列---高等数学
【例13】 设f??x?1??2x?1???2f(x)?x 求f(x)
解：令t?x?12x?1?x?t?12t?1 f(t)?2f??t?1?t?1?2t?1???2t?1 x?t?f(x)?2f??x?1?x?1?2x?1???2x?1 ?2[2f(x)?x]?x?12x?1 ?f(x)?4x2?x?13(1?2x)
技巧：利用函数表示法的无关特性。
【例14】 设f(x)?f??x?1??x???2x （x≠0,1） 求f?x?。
解：令t?x?1x?x?1t?1 ?f??1?2?1?t???f(t)?1?t ?f??1??1?x?2??f(x)?1?x ………………① 再令
11?x?u?1u?x?11?u ?f??u?1????f??1?2(u?1)u??1?u???u ?f??x?1??1?2(x?1)?x???f??1?x???x ………………② 由原式和①、②联立即可得到
f(x)?x?11x?1?x?1 【例15】 求 y?sin?xsinx2?1?x2?和 y?1?x2的值域？ 解：
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1x1??x?1?x2?2x????????21?x2221?x22?
?22?2?x2?x?sin??y?sin值域?,???.22222?1?x?2?1?x??22?xxsinx1???1?x21?x22x21sinx1sinx?11??????y?的值域??,?22?21?x21?x?22?
六、函数的极限题型与求解方法
1、重要结论：
① 三大标准极限 标准极限一 limsinxsin?x?1?lim?1 ???0?
x?0x?0?xx1xx?0?1x标准极限二 lim(n?)e
?1? 注：?1??为严格单调增加的，证明如下：
?n???1??1?n.n?1????1??1??1???n??en??1???1.?1??...?1????n????n?1?n???n?????????n??n?1n?1n?1?n?2?????n?1?1????1???n?1??en?1?en?en?1
陈氏第1技
标准极限三 lim1?lim??u?x????x??v?x??ex??lim??u?x??1??v?x? f?x0???h???f?x0??y?lim?f??x0?
?x?0?x?x?0?h?0??h?评 注 导数定义作为标准极限的应用的两个要点是：自变量有一个固定点x0；在固定点x0的 邻域函数有定义。
② 间断函数整体极限存在的六种可能形式（考研题型范围内）
1?0??0?x ; ; 1; 0??; ??limxx?1?; 00limx?1 ?x??x?00?????反过来，如果已知间断函数整体的极限存在，则必为上述六种极限形式之一，此结论在考研中经常使用。求极限时，首先强行代入，如果能直接得出值，则为连续函数；反过来，如果
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是连续函数，求极限时就可直接代入；如果不能得出值，就是间断函数，这时，需要先定型（属于上述六类哪一种），再根据相应的方法解决它，即后定法。
③x???,f(x)???的速度排列（由慢到快，即无穷大阶次由低到高），此结论相当重要，务必记住！
lnx?x?(??0)?ax(a?1)?xxlnn?n(??0)?a(a?1)?n!?n?nn ④limnx?1 (x?0) x可以等于n
n??⑤limxx?1
x?0?⑥lim?(x)?l
x?0?(x)当l=1时??(x)与?(x)为等价无穷小； 当l?1，且?0时??(x)与?(x)为同阶无穷小；
当l?0时??(x)是?(x)的高阶无穷小； 当l??时??(x)是?(x)的高阶无穷小。
⑦ 常用的等价无穷小： sinx~x ?或 sinx?x???131?1??x?o?x3?? cosx~1?x2?或1?cosx~x2? 3！2?2??1x)x~? ln(?1??lxnx~? tanx~x?或 tanx?x?x3?o?x3??
3????13?x?o?x3?? 3?n~x arctanx~x ?或 arctanx?x? arcsixxxx ax~1?xlna或ax?1~xlna(a?0,a?1) e~1?x或e?1~????? (1??x)x?~?1??x?或?(1?x??)???1?x n1?x~1+?或 n?1x?n?x?1~? n?评 注 等价无穷小在极限中的应用，其本质上是利用泰勒公式中的佩亚若余项麦克劳林展开形式，一般使用到一级即可，但在必要的场合要使用到二级，甚至更高级。上述公式中，括弧内的形式使用率较高，请读者留意。
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⑧ 极限的三大重要定理
1）保号（保序）性定理。
如果limf?x??A>0或<0; 则存在x0的去心邻域，当0
x?x0 2）唯一性定理。
我们说limf?x???不存在，就是因为?是个变量，违背了极限的唯一性。对于离散量
x?x0求极限可以等价转化为连续量求极限。 3）有界性定理。
⑨极限的脱帽法：
limf?x??A?f(x)?A?? lim??0
x?x0x?x0??
【例16】 已知limsin6x?xf?x?6?f?x??0, 求lim。 32x?0x?0xxsin6x?xf?x?sin6x?xf?x??x3?sin6x?0??0???f?x?? 解：lim
x?0x3x3x126??6x??6?f?x?6?1?cos6x?sin6x?6x?sin6x?6?lim????lim?lim?lim2?36 lim??223322x?0x?0xx?0x?0x?03xxxx3x??【例17】已知lim?x2?x?1??ax?b???0，求a, b。 x?????解：
x2?x?1??ax?b??? lim??0x???a??x2?x?1b??x2?x?1b?x2?x?1???a?lim?????lim?limx????x????x???xxxxxxx??x1?11?xx2??1xb?limx????x2?x?1?x???lim?x????1?x?1??x?11?x??lim??2?11x2?x?1?xx????x??1??2?1?xx??【例18】已知lim解：
sin6x?tanx?f?x?6?f?x??0I?lim，求。 32x?0x?0xx
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sin6x?tanx?f?x?x3? limsin6xx?0??0?f?x????x3?tanxsin6x??x36? I?limtanx6tanx?sin6x??x3x?0x2?limx?0x3 6??x?1x3?o?x3??????6x?1?6x?3?o?x3??? ?lim?3??3!?x?0x3?2?636?38【例19】设函数f?x?在x?0点连续，且满足：lim?sinxf?x??x?0??x2?x??2，求f???0?。解：
lim?sinxf?x?x?0???lim1???xx??0x?sinx?x?f?x??2????2 ??x?lim?sinx?0?x?x?f?x?????0?limx?0f?x???1?f?0???1f??0??limf?x??f?0?f?x?0x?0?limx??1x?0x
lim?sinxf?x??sinxf?x?x?0??x2?x??2??x2?x?2??, limx?0??0?f?x??2x??x?sinxfx?f??0???x??f?0?f?x??11sinxx?x?2???x??x2?f??0??2?limx?sinxx?0x2?2
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10 Stolze公式： ??型的Stolze公式：设?xy?a?Rn?yn?1n?严格单调增，且limn??yn??? 若nlim???x?x????? nn?1???? 则有：yny?ynlim???x?n?1nnlimn???x n?xn?10?a0型的Stolze公式：设?xy?y?Rn?1n?严格单调减至0，且limn??yn?0 若nlimn???x?????n?xn?1???? 则有：limyny?yn?1n???x?limnnn???x?x nn?1【例20】 设0?x?1, xn?1?xn?1?xn?, n?1,2,... 证明： nlim??nxn?1 证明：
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