习 题 1-1
1．求下列函数的自然定义域： （1）y?11?x2?x?2；
?1?x2?0解：依题意有?，则函数定义域D(x)??x|x??2且x??1?．
x?2?0?2x?1arccos3； （2）y? 2x?x?6?2x?1?1?3解：依题意有?，则函数定义域D(x)???2?x?x?6?0．
（3）y?ln(?x2?3x?2)；
解：依题意有?x2?3x?2?0，则函数定义域D(x)??x|1?1x?2?．
（4）y?2；
解：依题意有x3?x?0，则函数定义域D(x)??x|???x?x3x???且x?0,?1?．
（5）
1?, x?1,?sin y?? x?1?2， x?1;?解：依题意有定义域D(x)??x|???（6）y?arctan1x?3?xx????．
. 解：依题意有??x?0?3?x?0，则函数定义域D(x)??x|x?3且x?0?．
2．已知f(x)定义域为[0,1]，求f(x2), f(sinx), f(x?a), f(x?a)?f(x?a) (a?0)的定义域．
解：因为f(x)定义域为[0,1]，所以当0?x2?1时，得函数f(x2)的定义域为[?1,1]；
当0?sinx?1时，得函数f(sinx)定义域为[2kπ,(2k?1)π]； 当0?x?a?1时，得函数f(x?a)定义域为[?a,?a?1]；
当??0?x?a?1?0?x?a?112时，得函数
12（1）若a?f(x?a)?f(x?a)定义域为：
1212x??a,1?a?；，
（2）若a?3．设
，x?；（3）若a?a?x，x??．
求函数值
f(2a),f(1)．
f(x)?1?1?2?x???,其中a?0,22a?2ax?x???22a?2ax?x?a?xf(1)?解：因为
f(2a)?f(x)?1?1?2?x?，则
??0 ,a>1,?． ???2 ,0
1?a?11?2?1?a?1? 1
4．设
|x|?1,?1?f(x)??0|x|?1,??1|x|?1.?g(x)?2x，求f(g(x))与g(f(x))，并做出函数图形．
解：
x?12?1x?0?1??xx?0， f(g(x))??02?1，即f(g(x))??0??1 x?0?x???1 2?1?21?0g(f(x))??2??1?2??2?|x|?1，即g(f(x))??1?1|x|?1??2|x|?1|x|?1|x|?1 |x|?1，函数图形略．
5．设
?1?x,f(x)???1,x?0,x?0,试证：
?2?x,f[f(x)]???1,x??1,x??1.
，得证．
证明：
?1?f(x),f(x)?0，即f[f(x)]?f[f(x)]??1,f(x)?0??2?x,??1,x??1,x??16．下列各组函数中，（1）
f(x)?lnf(x)与g(x)是否是同一函数？为什么？
?x?3?x,g(x)??ln2??x?3?32? ；
不是，因为定义域和对应法则都不相同． （2）f(x)?3x5?2x3,g(x)?x3x2?2； 是．
（3）f(x)?2,g(x)?sec2x?tan2x； 不是，因为对应法则不同． （4）f(x)?2lgx,g(x)?lgx2； 不是，因为定义域不同．
7．确定下列函数在给定区间内的单调性： （1）y?3x?lnx，x?(0,??)； 解：当x?(0,??)时，函数y1?3x单调递增，y2?lnx也是单调递增，则y?在(0,??)内也是递增的．
（2）y?解：
y2?1y1?y1?y2，x?(??,1)． 1?x?x(1?x)?11y???1?1?x1?xx?11?x，当x?(??,1)时，函数y1?x?1单调递增，则
?x1?xx?1是单调递减的，故原函数y?是单调递减的．
8. 判定下列函数的奇偶性． （1）y?lg(x?x2?1)； 解：因为
f(?x)?lg(?x?x?1)?lg(x?2x?1)2?1??lg(x?x?1)??f(x)，
2所以y?lg(x?x2?1)是奇函数．
（2）y?0；
解：因为f(?x)?0?f(x)，所以y?0是偶函数． （3）y?x2?2cosx?sinx?1；
s?sxi?n解：因为f(?x)?2x?2cox，f1(?x)?f(x)且f(?x)??f(x)，所以
2
y?x?2cosx?sinx?1既非奇函数，又非偶函数．
2（4）y?解：因为
a?a2x?x.
?xf(x)?a?a2x?f(x)，所以函数y?a?a2x?x是偶函数．
9．设f(x)是定义在[?l,l]上的任意函数，证明： （1）f(x)?f(?x)是偶函数，f(x)?f(?x)是奇函数； （2）f(x)可表示成偶函数与奇函数之和的形式. 证明：（1）令g(x)?f(x)?f(?x),h(x)?f(x)?f(?x)，则 g(?x)?f(?x)?f(x)?g(x),h(?x)?f(?x)?f(x)??h(x)，所以数，f(x)?f(?x)是奇函数．
（2）任意函数偶函数，
f(x)?f(?x)2f(x)?f(x)?f(?x)2?f(x)?f(?x)2f(x)?f(?x)是偶函
，由（1）可知
f(x)?f(?x)2是
是奇函数，所以命题得证．
10．证明：函数在区间I上有界的充分与必要条件是：函数在I上既有上界又有下界.
证明：（必要性）若函数f(x)在区间I上有界，则存在正数M，使得x?I，都有
f(x)?M成立，显然?Mf(x)?f(x)?M，即证得函数上既有上界
f(x)在区间I上既有上界又
M1
有下界
（充分性）设函数
在区间
IM2，又有下界，即函数
，即有
f(x)?M1且f(x)?M2，取M?max{M1,M2}，则有f(x)?Mf(x)在区间I上有界．
11．下列函数是否是周期函数？对于周期函数指出其周期： （1）y?|sinx|；
周期函数，周期为π． （2）y?1?sinπx； 周期函数，周期为2． （3）y?xtanx；
不是周期函数． （4）y?cos2x.
周期函数，周期为π．
12．求下列函数的反函数： （1）y?3xx3?1；
?yy?1解：依题意，3xf?1，则x?log3yy?1，所以反函数为
(x)?log3,x?(??,0)?(1,??)． x?1ax?b（2）y?(ad?bc)；
cx?db?dy解：依题意，x?，则反函数fcy?ax?1(x)?b?dxcx?a(ad?bc)．
3
（3）y?lg?x?x?12?；
y?y解：依题意，x?（4）y?3cos2x,解：依题意，x?12(10?10)，所以反函数
f?1(x)?12(10?10x?x),x?R．
π??π???x??． 4??4arccos2y3，所以反函数
arccosf?1x3,x?[0,3]．
(x)?213．在下列各题中，求由所给函数构成的复合函数，并求这函数分别对应于
给定自变量值x1和x2的函数值：
（1）y?eu,u?x2＋1,x1?0,x2?2； （2）y?u2?1,u?ev?1,v?x?1,x1?1,x22??1．
解：（1）y?f(x)?ex?1,f(0)?e,f(2)?e5
（2）y?f(x)?(ex?1?1)2?1，f(0)?e4?2e2?2，f(?1)?1．
14．在一圆柱形容器内倒进某种溶液，该容器的底半径为r，高为H．当倒进溶液后液面的高度为h时，溶液的体积为V．试把h表示为V的函数，并指出其定义区间．
解：依题意有V?πrh，则h?2Vπr2,V?[0,πrH]．
215．某城市的行政管理部门，在保证居民正常用水需要的前提下，为了节约用水，制定了如下收费方法：每户居民每月用水量不超过4.5吨时，水费按0.64元／吨计算．超过部分每吨以5倍价格收费．试建立每月用水费用与用水数量之间的函数关系．并计算用水量分别为3.5吨、4.5吨、5.5吨的用水费用．
解：依题意有
0?x?4.5?0.64x,，所以 f(x)??4.5?0.64?(x?4.5)?3.2,x?4.5?f(3.5)?2.24元，f(4.5)?2.88元，f(5.5)?6.08元．
习 题 1-2
3n?1222（1） 求|a1?|,|a10?|,|a100?|的值；
3331．设an?2n?1(n?1,2,3,?)，
（2） 求N，使当n?（3） 求N，使当n?解：(1) |a1? |a100?2323|?||?|34NN时，不等式|an时，不等式|an|?2112|?,??2323|?10|???23?4成立；
成立．
|?|2131?23|?193,
?23? |a1012013013903211（2） 要使 |an?|?10?4, 即 ?433（3n+1）10．
， 则只要n?成立．
99979, 取N
＝??9997???1110,9?? 故当n>1110时，不等式|an?23|?10?4 4
（3）要使|an|an?23|???23|??成立，n?1?3?, 取N9??1?3??????9??，那么当n?N时，
成立.
2．根据数列极限的定义证明：
（1）lim1n!n???0； （2）lim， 要使|N2n?3n2n???1．
?1???????解：（1）???01n!?0|＝1n!?1n1n!??， 只要取N，则lim?22n2， 所以，对任意
?1???0，存在N??????，当n?时，总有|?1?|?0|??31n!n???0.
n?32?2 (2) ???N???3??2??2?0,要使|n?3nn(n?3?n)2??, 即,只要取
?1|???,所以,对任意的?>0,存在N???3??2??, 当n?N, 总有|n?3n,
则limn?3nn???1.
3．若limn??xn?a，证明lim|xn|?|a|．并举例说明：如果数列?|xn|?n??有极限，但数
.不妨假
列?xn?未必有极限．
证明: 因为limxnn???a, 所以???0, ?N1, 当n?N1时, 有|xn?a|??设a>0, 由收敛数列的保号性可知:?N2, 当n?N2时, 有xn?0, 取N?max?N1,N2?, 则对???0, ?N, 当n?N时, 有||xn|?|a||?|xn?a|??.故
lim|xn|?|a|. 同理可证a?0n??时, lim|xn|?|a|成立.
n??反之,如果数列?|xn|?有极限, 但数列?|xn|?未必有极限.如：数列xn|xn|?1， 显然lim|xn|?1, 但limxnn??n?????1?n,
不存在．
?04．设数列?xn?有界，又limynn??．证明：limxnynn???0．
n??证明: 依题意,存在M>0, 对一切n都有|xn|?M， 又lim当n?Nyn?0, 对???0, ,
存在N,
时, |yn?0|??, 因为对上述N, 当n?n??N时, |xnyn?0|?|xnyn|?M|yn|?M?由?的任意性, 则limxnyn?0．
?1ncos(n?3)π2xn． ，求limn??5．设数列?xn?的一般项xn解: 因为limx??1n?0, |cos(n?3)π2|?1, 所以 lim1nx??cos(n?3)π2?0.
?A(n??)．
?06．对于数列?xn?，若x2k?1?证明: 由于limx2k?1k??A(k??)，x2k?A(k??)，证明：xn?A, 所以, ???0, ?N1?0, 当k>N1时，有|x2k?1?A|??,
,
同理, ???0,?N2?0, 当k?N2时, 有|x2k?A|??．取N=max?N1,N2?, ??当n?N时, |xn?A|??成立, 故xn?A(n??)．
5