(4) lim1?cos2xxsin3xsinxcosx2x?0?lim12sinxx?3xxcosx22x?0?123;
(5) limx?0x?limx?0x?limxcos1?0;
x?0x(6) lim=limx?01?6x?21?2xx?0x?4x8x?lim??21?6x?1?2x??81?6x?1?2x?x?0?x?limx?02?4x??1?6x?1?2x??
?x2?4x??1?6x?1?2x?x?4??)?limx?0?1;
1?6x?21?2x(7) limx?01?cos(sinx)2In(1?x)1x122sin(?limx?0sinx22sin(sinx22)?142xx;
?(8) lim?xsinx????11?sinx??limxsin?limsinx?limx??xxx??x?x??sin1x?lim1sinx?1?0?1; x??x1x(9) lim(x??x?ax?ax)?lim(1?x??x2ax?a)x?a2ax?2ax?a?e;
2a11(10) limx?0?cosx?lim??1?(cosx?0?x?1)?x?lim??1?(cos?x?0?x?1)?cos?x?1?cosxx?1?e?12．
5．设当x?x0时，f(x)是比g(x)高阶的无穷小．证明：当x?x0时，f(x)?g(x)与g(x)是等价无穷小．
证明: 由已知得
x?x0limf(x)g(x)?0,则
x?x0limf(x)?g(x)g(x)?lim(x?x0f(x)g(x)?1)?1,即
f(x)?g(x)与g(x)是等价无穷小．
6．已知limx?ax?bx?23x?2?8，求常数a与b的值．
解：因为lim3x?ax?bx?2?lim3x?2?8，所以limx(?ax?x?23b?)8?a2?b?，0则
b??8?2a,那么lim2x?ax?bx?2(x?2)[x?2x?(a?4)](x?2)2x?2x?2?limx[?x2?a(?x?24?)a]?a1?解得28??4,b?0． ，
7.设x1?10,xn?1?6?xn(n?1).证明数列{xn}极限存在，并求此极限．
证明：用数学归纳法证明此数列的单调性．因为x1?10 及x2?6?x1?4，可
21
知x1?xn?0x2,假设xn?xn?1,则 xn?1?6?xn?6?xn?1?xn?2，所以{xn}单调递减，又显然
n??，即{xn}有下界，由单调有界准则知{xn}存在极限，设limxn6?xn?A，
对xn?1?两边取极限，有A=6?A，解之得A=3或A=?2（舍去） ，即得
limxnn??=3．
?sin6x?2x,x?0,?f(x)=?a?3x,x?0,处处连续．
?1?(1?bx)x,x?0.?18.确定常数a与b的值，使得函数
解：当x?0时，f(x)=的，又limf（x）=limx?0?sin6x2x和当x?0时，f(x)=(1?bx)x，显然它们都是连续
1b??sin6x2xx?0?=3，lim f（x）=limx?0x?0(1?bx)x=limx?0?(1?bx)bx=eb，当x?0时，f(x)=a,要使f（x）在x=0点也连续，则eb=3=a,即a=3,b=ln3．
9.求下列函数的间断点，并判断其类型． （1）
f(x)=arctan1x?；
f(x)=lim?arctanx?0解：因为limx?01x=??2，limx?0?f(x)=lim?arctanx?01x=
?2，又x?0时，
f(x)连续，所以只有x=0为间断点，x=0为跳跃间断点．
（2）f(x)=
xtanx；
f(x)?limxtanx解：当tanx=0时，有x=0或x=n?（n=?1,?2,?）因为lim所以x=0为可去间断点．又
limx?n?x?0x?0=1，
xtanx?=?（n=?1,
?2?2,?），所以
limx?n?（n=?1,?2,?）为无穷间断点．当x?n?所以x?n? （3）
f(x)?limx?e1?enxx??nx（n=?1,?2,?）时，
x?2x?n??tanx=0，
??2（n=?1,?2,?）是可去间断点．
；
22
解：
f(x)?limx?e1?enxx??nx?1,x?0,??1=?,x?0?2??x,x?0,，因limf（x）=0，lim
x?0?x?0?f(x)=1，所以x=0为
跳跃间断点．
复习题B
1．单项选择题
（1）当x?0时，下列无穷小量中与x不等价的是（ ）． A．x?3x2?x3． B．
ln(1?x)x2． C．ex D．sin(6sinx?x)． ?2x?5x?1．
242（2）下列极限不存在的是（ ）．
1A．
lim?(x???lim(2?xsinxx)． B．
limxsinx?01x． C．
limx?3x?1x2． D．
x??ln(1?x)x?arctan1x)．
x?0（3）极限（ ）等于e．
1A．lim(1?x)x． B．
x??x???lim(1?1x)x?1． C．lim(1?x???1x)x． D．lim(1?x?01x)x．
)的值为（ ）（4）设?n，数列|f(n)|?g(n)，如果limg(n)?3，则limf(n．
n??n??A．limf(n)??3． B．?3?limf(n)?3． C．limf(n)?3． D．
n??n??n???3?limf(n)?3．
n??（5）已知lim(x??2x2x?1?ax?b)?1，其中a与b为常数．则（ ）．
b??3．A．a?2，b?3． B．a??2，b?3． C．a?2，b??3． D．a??2，
（6）设函数
f(x)?x?xsin?x3，则（ ）．
A．有无穷多个第一类间断点． B．只有1个可去间断点． C．有2个跳跃间断点． D．有3个可去间断点． 解答：
（1）D;（2）C;（3）B;（4）B;（5）C;（6）D（提示：x=0，?1为可去间断点?）
2．填空题 （1）设函数
f(x)的定义域是[0,1]，则f(x?1x?1)的定义域是_________．
（2）计算limx?0
1xln1?x?x1?x?x22=_________．
23
1（3）设lim(1?2x?2x2)ax?bx?e2，则a=_________，b? ．
x?02（4）设x?0?时，e（5）设limf(x)x3xcosx2?ex与x?是同阶无穷小，则?? ．
f(x)x? x?0??3，则limx?0 ，limf(x)x2x?0? ．
（6） 在“充分”、“必要”和“充分必要”三者中选择一个正确的填入空格内：数列?xn?有界是数列?xn?收敛的 条件；函数f(x)的极限limf(x)存在是
x?x0f(x)在x0的某一去心邻域内有界的 条件；函数f(x)在x0的某一去心邻
域内无界是limf(x)??的 条件；函数f(x)在x0左连续且右连续是
x?x0f(x)在x0连续的 条件．
答案：（1）?1,???；（2）1；（3）a=1；b为任意实数；（4）;（5）0，0；（6）
29必要，充分，必要，充要．
（2）题解答过程：lim2ln?（x?x)??1??1xx?0ln1?x?x1?x?x22=limln(1?x?x)?ln(1?x?x)2x2222
x?0=limx?02x?2?ln??(1+(?x?x)?2x=limx?x2xx?0?lim?x?x2xx?0=
12?(?12)=1．
（3）题解答过程：
112因为lim(1?2x?2x)x?02ax?bx?lim(1?2x?2x)22x?2x2?2x?2xax?bx222x?0=ea?e2，所以，a=1，b为任
意实数．
（4）题解答过程： 因为
lim?excosx?e2xx?0xu=
9x?0lim?ex[ex(cosx?1)2?1]xu=
x?0lim?ex?x(cosx?1)xu2=
ex?0x?x(?xu12x)4lim?=c
（常数），所以u=．
2
（5）题解答过程：因为lim时的无穷小量)，那么
f(x)x3x?0=?3，所以
?x??(x)2f(x)x3=?3??(x) (其中?(x)为当x?20f(x)x=?3x2，
f(x)x=?3x?x??(x)，故limf(x)xx?0=0，
24
limf(x)x2=0．
x?0
3．求下列极限： （1）lim[n??1?2???n?1?2???(n?1)]； （2）limx?0e1?cosx3?1?；
x(1?cosx)11?a?b?c?xx21?cosx（3）lim?（4）lim(1?earctanx)； ?．(a?0,b?0,c?0)；x?0x?03??xxx（5）lim(sinx)tanx； （6）lim(sinx?1?sinx)；
πx?x???21?2?exsinx111n?（7）lim(1?????)； （8）lim?4n??x?0?23n|x|?1?ex?1??； ???（9）lim(1?x)(1?x)?(1?x),|x|?1； （10）limx??22nln(esinx?31?cosx)?sinxx?0arctan(431?cosx)．
解答： （1）lim[n??[?limn??1?2???n?(n?1)n2n(n?1)21?2????n?1?]?lim[n??n(n?1)2?(n?1)n2]
n(n?1)2?[][?n(n?1)2(n?1)n2?](n?1)n2]?limn??n[n(n?1)2?(n?1)n2]
?lim11?21n?1?2e1?cosx3n??1n?22
（2）limx?0?1?x(1?cosx)?lim?x?0x3x(1?cosx)2?lim?x?0xx33?4．
4（
lim(x?03
a?b?c3xxx1）
a?b?c?33xxx3x?0)x?lim(1?x?0a?b?c?33xxx1)x?lim(1?)a?b?c?3xxx?(a?1)?(b?1)?(c?1)3xxxx
lnabc=e3=3x?0abc．
11（4）lim(1?exarctanx2)1?cosx（5）
lim(sinx)x?tanx?lim(1?earctanx)ex?0x2xarctanx2?earctanx1?cosxx2=e2．
1?lim(1?sinx?1)x?π2sinx?1?sinx(sinx?1)cosx?2
25