1sinx?1?sinx(cos?cos2x2?sin2x2x2)2=
（6）
lim(sinx???x2lim(1?sinx?1)x??sin?e?1．
0?2x?1?sinxx)?lim2sinx???x?1?2xxcosx?1?2x，
sinx?1?2x?0，故
其中|2coslim(sinx???x?1?2|?2，即2cos．
x?1?2是有界量，limx???x1?sin?)x0?
（7）因为1?(1?
1112?13?....?1n11n1)?nn，又limnn??n?1，所以lim(1?n??12?13?....?1n1)n?1．
（8）因为lim(x?0?2?ex4?sinx|x|sinx|x|)?lim?(x?02?ex4?sinxxsinxx)?2?1?1，
11?ex11?ex1x?0lim?(2?ex4?)?lim?(x?02?ex4?所以，)?0?1?1，lim(x?02?ex4?sinx|x| )?1．
1?ex1?ex1?ex
（9）lim(1?n??x)(1?x)...(1?x22n)?lim(1?x)(1?x)(1?x)...(1?x1?x1?x2n?122n)
n???limsinx3n??1?x?11?x3(|x|?1).
sinx（10）limln(e?1?cosx)?sinx3x?0arctan(41?cosx)?limln(esinx?1?cosx)?lne3 1?cosxesinxx?041?cosx3ln(1??limx?01?cosxesinx3)?limx?0431?cosx431?cosx?14lim1esinxx?0?14 .
4．已知函数
f(x)?limxn2nn??2?x，试确定f(x)的间断点及其类型．
解：因为
f(x)?limxn2nn???2?x?0,|x|?1?0,0?|x|?1????1，
,x?1?3???不存在，x=-1所以limx?1?f(x)?lim?f(x)?0?f(1)x?1，
x??1lim?f(x)?lim?f(x)?0,f(?1)不存在，
x??1因此，x??1均为可去间断点。
26
5．设函数
?ax2?bx,x?1,?f(x)??3, x?1,求a，b?2a?bx, x?1.?2使f(x)在x?1处连续．
解： 因为limx?1?f(x)?lim?(ax?bx)?a?b，lim?f(x)?lim?(2a?bx)?2a?bx?1
x?1x?1?a?b?2a?b，解得a?2f(1)?3，要使f(x)在x?1处连续，则?a?b?3?，b?1.
6．求证方程x?1?sinx?0在区间(?证明：令
ππ,)22上至少有一个根．
上连续，又f(?π2)??π2?0?ππ?f(x)?x?1?sinx，显然f(x)在??,??22?，
ππf()??2?022x?1?sinx?0，由零点定理可知，
??ππ?,?22??ππ?f(x)在??,??22?内至少有一个零点?，即方程
在??内至少有一个根.
12axn
7．设a?0，任取x1?0，令xn?1求极限limxn． n??证明：首先证明?xn?是单调的，（1）若
xn?1?12(xn?axnaxn)?12(xn?xn2?(xn?)（其中n?1,2,?）．证明数列{xn}收敛．并
xn?a，则
axnxn2)?xn，即?xn?单调递增有上界。（2）若xn?，则
xn?1?12(xn?)?12(xn?xn)?xn，即
（2）知数列?xn?有极限存在；令limxn?xn?单调递减有上界，综（1）n??A?12(A?aA)，解之得A??A，则
a或A??a（舍去），即limxnn???a.
8．成本—效益模型 从某工厂的污水池清除污染物的百分比p与费用c是由下列模型给出：
p(c)?100c8000?c．
如果费用c允许无限增长，试求出可被清除污染物的百分比．实际上，可以完全清除污染吗？
27
解：limc??p(c)?lim100c8000?cc???100所以如果费用C允许无限增长，可被清除污染
物的百分比为100%，实际上是不可能完全清除污染的.
第一章习题答案
习 题 1-1 1．（1）（2）（3）（4）1?x?2；x??2且x??1；?1?x?2；???x???且x??1,0,1；（5）R；（6）x?3且x?0.
2．函数f(x2)的定义域为[?1,1]；函数f(sinx)的定义域为[2k?,(2k?1)?]；函 数f(x?a)的定义域为[?a,?a?1]；函数f(x?a)?f(x?a)的定义域为：（1）若
a?12；（2）若a?,x?[a,1?a]3．4．
f(2a)?12a212,x?12；（3）若a?12,x??.
，
a?1,?0, f(1)??2,0?a?1.??1,x?0,?2,|x|?1,??f(g(x))??0,x?0,g(f(x))??1,|x|?1,．
?1/2,|x|?1.??1,x?0;??6．（1）不是；（2）是；（3）不是；（4）不是.
7．（1）当x?(0,??)，函数是单调增加的；（2）当x?(??,1)，函数是单调减少的. 8．（1）奇函数；（2）偶函数；（3）既非奇函数又非偶函数；（4）偶函数. 11．（1）周期函数，周期为π；（2）周期函数，周期为2；
（3）不是周期函数；（4）周期函数，周期为π. 12．（1）
（2）（3）（4）
ffff?1(x)?log3(x)?(x)?(x)?x?1x?1?(dx?b)cx?a1212x，x?(??,0)?(1,??)； ,(ad?x?bc)；
?1(10?10arccos2)，(x?R)；
?1x3，(0?x?3).
f(?1)?1．
13．（１）y?f(x)?ex＋1,f(0)?e,f(2)?e5；
（２）y?f(x)?(ex?1?1)2?1,f(1)?e4?2e2?2,14． h?15．
Vπr2,V?[0,πrH]．
20?x?4.5,?0.64x,f(x)???4.5?0.64?(x?4.5)?3.2,x?4.5．f(3.5)?2.24元；f(4.5)?2.88元；
f(5.5)?6.08元．
习 题 1-2
28
1．|a1?n??23|?112；
|a10?23|?193；|a100?23|?1903．
5．limxn?0．
习 题 1-3 1．??0.004．提示：因为x?1，所以不妨设|x?1|?1．
22．X?7003．
习 题 1-4
2．函数y?xsinx在(0,??)内无界，但当x?
习 题 1-5
1123??时，此函数不是无穷大．
1．（1）0；（2）1；（3）；（4）；（5）?；（6）?3；（7）
3212；（8）2；
（9）3x2；（10）?2；（11）1；（12）0；（13）6（16）?． ２．a?1. ３．因为
f(1)?0,f(1)???,即f(1)?f(1)????2；（14）??；（15）?；
，所以，当x?1时，函数
x?1x?121ex?1的极限不存在．
４．a?25,b?10． 5．（1）0；（2）0；（3）0；（4）0．
6．f(0?)?5,f(0?)?5,因为f(0?)?f(0?)，所以，lim
习 题 1-６
１．（1）e；（2）e；（3）e2；（4）e10．
2?11x?0f(x)?5．
?4２．（1）1；（2）；（3）0；（4）0；（5）1；（6）x．
32
习 题 1-7
1． 3x2?2x3． ３．（1）
nm3；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）62321111272；（7）；（8）．
2534
（9）(ab)2． 4．a??4．
习 题 1-8 １．（1）f(x)在(??,?1)和(?1,??)内连续，x??1为跳跃间断点； （2）f(x)在R上处处不连续． ２．（1）f(x)在(??,0)和(0,??)内连续，x?0为跳跃间断点； （2）f(x)在R上是连续的；
（3）f(x)在(??,1),(1,2)和(2,??)内连续，x?1为可去间断点，若令
29
f(1)??2，则f(x)在x?1处连续，x?2
为第二类间断点；
（4）f(x)在(??,0)和(0,??)内连续，x?0为第二类间断点；
（5）f(x)在(??,?1),(?1,0),(0,1)和(1,??)内连续，x??1是第二类间断
f(1)?12点；x?0是跳跃间断点；x?1是可去间断点，若令续． （6）
３．（1）
f(x)在(??,3)和[3,??)?1,??1f(x)??,?2??0,0?x?1,，则f(x)在x?1处连
内连续，x?3为跳跃间断点．
x?1,x?1为跳跃间断点； x?1.（2）
|x|?1,?x,?f(x)??0,|x|?1,x?1和x??1为跳跃间断点.
??x,|x|?1.?４．a?2．
５．a?3,b为任意实数． ６．（1）
（2）(3)
f(x)?cot(πx)?cotπx；
?1,x?Q, f(x)??c?1,x?Q;??x,x?Q, f(x)??c??x,x?Q.
习 题 1-9 １．（1）f(x)在R上是连续的；
（2）f(x)在(??,3)和(3,??)内连续，x?3为可去间断点； （3）f(x)在[?4,3]上连续．
2．（1）1；（2）；（3）；（4）e；（5）e；（6）e；（7）；（8）e2；
?422π611?1π2(9) ?2． 3．A．
5．a?ln2．
习 题 1-10 3．提示：证明
4．提示：m?f(x)在[a,b]上连续．
n?Mf(x1)?f(x2)???f(xn)，其中m、M分别为
f(x)在[x1,xn]
上的最小值和最大值．
复习题A
1．
f[g(x)]?(1?x)22x?4x?213?x2，D?｛x|x??2?222且x??1｝；
3g[f(x)]?，D?｛x|x??且x??｝．
30
2．
???(x?1),??1f(x)??0,??x?1,x??1,x?0,x?1.
3．（1）A；（2）D；（3）D；（4）D；（5）C．
4．（1）3π；（2）8；（3）π；（4）2；（5）0；（6）2；（7）1；（8）1；（9）
7334e2a；
（10）e2． 6．a??4，b?0． 7．c??1，a?2d?01，b,d为任意实数．
?08．提示：用数学归纳法证明?xn?单调递增，且xn9．当a?3，b?ln3时，
f(x)处处连续．
．
10．（1）x?0为跳跃间断点；
（2）x?0,x?nπ?π2(n?0,?1,?2,?)为可去间断点：x?nπ(n?0,?1,?2,?)为
无穷间断点；
（3）x?0为跳跃间断点．
复习题B １．（1）D；（2）C；（3）B；（4）B；（5）C；（6）D.
２．（1）[1,（2）1；（3）a?1,b为任意实数；（4）??)；
92；（5）0，0；（6）
必要，充分，必要，充要．
３．（1）（9）
11?x22；（2）4；（3）314abc；（4）e2；（5）1；（6）0；（7）1；（8）1；
；（10）．
４．间断点为x??1和x?1，均属于可去间断点． ５．a?2,７．limxnx??b?1． ?a．
８．100%，实际上是不可能完全清除污染的． ９．y?2x?1．
31