x?5?1010?10105?（4）lim()?lim?(1?)?(1?)?x??x?5x??x?5x?5??x?5x
?lim(1?x??10x?5x?5)10?10?lim(1?x??10x?5)?e510．
sin2x2．计算下列极限：
（1）limxcotx； (2) limx?0x?0（3）limcosx?cos3x5x1； （4）limx?03xcosx?13； ；
为不等于零的常数）．
23x?0?x2x2n（5）limx?sin； （6）lim2nsinx??xn??(x解：
(1)limxcotx?limx?0xcosxsinx?limx?0x?0?1．(2)limsin2x3x?0x?0?lim2sinxcosx3xx?0?．
(3)limcosx?cos3x5x?2sin2xsinx5x2x?0x??2sinsincosx?12?lim?x?2(4)lim??lim?33x?0x?0x?02?x22xx?2x????0??2．
x2nn(5)limxsinx??1xsin?limx??1xnx?12sinn?lim．(6)limn??n??12xsinx2x?x．
3．利用极限存在准则证明： （1）数列 假设xn3，3?3，3?3?3，?的极限存在；
?3?3?3?x1?0。
证明：先用数学归纳法证明数列?xn?单调递增。由于x2?xn?1?0成立，则xn?1?3?xn?3?xn?1?xn，所以数列?xn?单调递增．
下证有界性
x1?3?1?3，假设xn3?(1??1?3，则
3xn?1?3?xn?3)?3?1?23?1?，故0??Axn?1?3，即数列?xn?有
3?A界
imxn存在．不妨设limxn根据单调有界准则知ln??n??，则有A?，解得
A1?1?213，A2?1?23n13xn（舍去），即有limn???1?213．
（2）limn??1??1；
1?3n?1?3n1?lim?1?，又limn??n????3?3?1lim1??1． ，所以?n??n?n 证明：因为 1??(3) lim?n???1n?n6?262???n?2n?1??62n?n?3n2；
11
nn2证明：因为?kk?16nn?n2?1n?nn6?262?......?n622?k?k?162，
n?2n2n?nn?n 又lim(4) limx?0?kk?162?k2n???limk?1n?nn??n?n6?13，所以原式成立．
??1?x???1． ?x? 证明：对任一x?R，有x?1??x??（1）当x?0时，x(（2）当x?0时，x?
1x，则当x?0时，有
1?1?1?1????x?x?x?．于是
1?1??1)?x???x?xx?x?，由夹逼准则得limx?0?1?x???1． ?x?11?1??1??x???x(?1)，同样有lim?x???1．
x?0xx?x??x?习 题 1-7
1．当x?0时，x?2x2与3x2?2x3相比，哪一个是高阶无穷小？
解：因为lim
2．证明：当x?0时，secx?1?证明：因为limsecx?1x23x?2xx?2x223x?0?0，所以3x2?2x3是比x?2x2高阶无穷小．
x22．
?1?limx?01secx?1x2x?0?limcosx2x?0x21?cosxx2?cosx1，又(1?cosx)?x22，
22则limx?0?1，故secx?1?x22．
2
3．利用等价无穷小的性质，求下列极限： （1）lim（3）limtannxsinmxx?0(n,m为正整数）； （2）lim21?x?2x?1sin3xsinx2；
x?0ln(1?2x?3x)4xx?0； （4）limx?0e3?1arctanx；
； ；
（5）limx?01?cosxx)32?x(1?cos3； （6）limx?0； （8）limx?0,均为常数.
2?1?cosx2sin3x22（7）limx?03x?5x?7x4x?2tanx3xxx?sinx?tan3xsin5x?2x?a?b?x（9）lim??,其中a?0,b?0x?02?? 12
解：(1)limtan(nx)x?0sinmx2?limnxmxx?0?1nm．
2(2)lim1?x?2x?1sin3xx?0?lim2x?0(x?2x)3x2?16．
(3)limln(1?2x?3x)4xsinx2x?0?lim2x?3x4x13x?0?12．
sinx?1?limx?0(4)lime3x?0arctanx3x?．
11?cosx?lim?2x?0(5)lim?x?01?cosxx)x2x(1?cos?lim?x?0x(1?cosx)(1?cosx)1x?x2?lim?x?011?cosx?12．
1 (6)lim2?1?cosx2x?0sin3x?lim2?(1?cosx)sin3x(2?13x?0?lim22?limx?01?cosx)x?0(3x)x212?1?cosx
?1??182272．
?322 (7)lim (8)limx?03x?5x?7x4x?2tanx2323x?0?lim3x2tanx4x5xx?0x?0?lim?453x2x．
4x,sin5x?2x?5x)xxx?0x?sinx?tan3xsin5x?2xa?b2xx32?lima?b2xx3．(因为x?sin2x?tan3x?a?b?22xxx2．
3ln(?1)3 (9)lim(x?0)x?ex?0limln()x?ex?03lim?ex?0lim2(a?b?2)xxx?e3(a?1)?(b?1)?x?02xlim
3
?e2(lna?lnb)?(ab)2．
．
1４．当x?0时，若(1?ax12)4?1与xsinx是等价无穷小，试求a解：依题意有lim124(1?ax)4?1xsinx142x?0?1， 因为
2?(1?ax)?1???1?(?ax)??1?1142?(?ax)，sinx?x，则
1?lim4x?0lim(1?ax)?1xsinx24?(?ax)x22x?0??a4?1，故a??4．
习 题 1-8
1．研究下列函数的连续性： （1）
?x,f(x)???1,|x|?1,|x|?1; （2）
?1,f(x)???0,x?Q,x?Q.c
解答：（1）在???,?1?和??1,???内连续，x??1为跳跃间断点； （2）f(x)在R上处处不连续。
13
2．讨论下列函数的间断点，并指出其类型．如果是可去间断点，则补充或改变函数的定义使其连续．
（1）
解答：（2）
f(x)在???,0?和?0,???内连续，x?0x?0,x?0;f(x)?11；
1?ex为跳跃间断点．
1?,?xsinf(x)??x?0,?
解： （3）
f(x)在R上是连续的．
f(x)?x?1x?3x?222；
解：f(x)在（??，1），（1，2）和（2，??）内连续，x=1为可去向断点，若令 （4）
（5）
f(x)?x?x|x|(x?1)22f(1)??2,则f(x)在x=1连续；x=2为第二类向断点．
f(x)?sin1x；
为第二类向断点；
解：f(x)在（??，0）和(0,??)内连续，x=0
；
是第二类在x=1
解：（－1，0），（0，1）和(1,??)内连续；x=?1f(x)在(??,?1)，
f(1)?12间断点；x=0是跳跃间断点；x=1是可去间断点，若令处连续． （6）
?x?1,f(x)???4?x,x?3,x?3.，则
f(x)
为跳跃间断点．
解：f(x)在(??,3)和[3,??)内连续，x＝3
3．讨论下列函数的连续性，若有间断点，判别其类型． （1）
f(x)?lim11?xnn??(x?0)；
解：
?1,??1f(x)???2,?0,?0?x?1,x?1,x?1. x?1为跳跃间断点；
14
（2）解：
4．设函数
?sin2x,?f(x)??x?x2?a,??f(x)?lim(1?x2n)xn??1?x2n．
?x,?f(x)??0,??x,?|x|?1|x|?1 x?1和x??1为跳跃间断点． |x|?1x?0,x?0.x试确定a的值，使函数
2f(x)在x?0处连续．
解：因为limx?0f(x)?lim?x?0sin2x依题意?2,lim?f(x)?lim?(x?a)?a,f(0)?a,所以，
x?0x?0有a=2.
5．设函数解：因为
?ln(1?3x),?f(x)??sinax?bx?1, ?x?0x?0,x?0在点x?0处连续，求a和b的值．
ln(1?3x)sinax?3ax?0lim?f(x)?lim?(bx?1)?1,lim?f(x)?lim?x?0x?0，f(0)?1,依题意有
a?3,b为任意实数．
6．试分别举出具有以下性质的函数(1) x?0,?1,?2,?12,?,?n,?πx1nf(x)的例子：
,?是f(x)的所有间断点，且它们都是无穷间
断点，例如：
(2)
f(x)?cot(πx)?cot；
f(x)f(x)在
R上处处不连续，但在
R上处处连续；例如：
?1,x?Q, f(x)??c?1,x?Q;? (3)
习 题 1-9
1．研究下列函数的连续性： （1）f(x)?x2cosx?ex； 解答：因为连续．
f(x)?xcosx?e2xf(x)在R上处处有定义，但仅在一点连续，例如：f(x)???x,x?Q,c??x,x?Q.
在???,???上是初等函数，所以f(x)在???,???上
15