（2）
f(x)?x?3x?273； 时，
f(x)解答：显然当
x?3无意义，但limx?3?1，则
x?3是函数
x?3x3?2727f(x)?x?3x3?27的可去间断点．
（3）
f(x)??x2?x?12；
解答：当?x2?x?12?0时，即x???4,3?时，
f(x)连续．
２．求下列极限：
（1）lim?x?1?x?1sin??π?5x?3??； ?解：limsin(?x?1x?15x?3)?sin?2?1;
（2）limarcsin?x2?x?xx????；
22?x)?limarcsin(x?x?x)(x2解：?x?x)xlim???arcsin(x?x
x???x2?x?x＝
limarcsinx?arcsin1?πx???x2?x?x26；
1?ln(2?x)（3）lim2x?1π；
3arctanx?41?ln(2?x)1?ln(2?1)解：lim2x?1?23arctanx?ππ?1π;
43arctan1?4
（4）1?xlim?1?4xxx?0?；
解：1?xlim?1?4x(?4x)]?14x?(?4x)?1?xx?x?e?4x?0?lim[1x?0?；
2（5）lim[1?0?ln?1?x?]xx； 21解：?2ln(1?x)lim[1ln(1?x?2x?0?ln(1?x)]x?lim[1)xx?0?ln(1?x)]e ；
1（6）lim2x?0(1?xex)1?cosx；
112解：lim(1?2ex)1?cosx?lim2xx2ex?x1?cosx?exx?0xx?0(1?xe)?e2;
16
（7）lim解：lim?1?tanx?21?sinx；
x?0x1?sinx?x1?tanx?21?sinx
1?sinx)?1?sinx?11?tanx?1?sinx2x?0x1?sinx?x1?sinx)(1?tanx?22lim?(1?tanx?x?0（x1?sinx?1）（1?sinx＋1）1?sinx?11?tanx?1?sinx2
?lim(tanx?sinx)x?sinx2x?0?lim
x?0?limtanx(1?cosx)x?sinx2x??limx?0x2x?022?12x?x2 ；
1cosx?112
（8）lim(cosx)cotx；
x?0解：lim(cosx)x?0cotx2?lim(1?cosx?1)x?0cosx?1tan2x??e? ；
（9）limn[lnn?ln(n?2)]．
n??解：limn[lnn?ln(n?2)]n???limnlnn??nn?2)?limnln(1?n??2n?2)
?limln(1?n??2n?2)?limln(1?n??n?2n?2n?2??2n?????2?n?2??lne?2??2 ；
3．设函数
f(x)与g(x)在点x0连续，证明函数
?(x)?max?f(x),g(x)?，?(x)?min?f(x),g(x)?
在点x0也连续．
证明：略．
4．若函数
?a?bx2,x?0,?f(x)??sinbx在(??,??), x?0??x内连续，则a和b的关系是（ ）．
A．a?b． B．a?b． C．a?b． D ．不能确定．
解答：因为limx?0?f(x)?lima(?bx?x?02?)a,limfx(?)?x?0x?sinbxlim?b?0xf,(0)?a,依题意有
a?b．
?x?2a?5．设lim???8且a?0x???x?a?x，求常数a的值．
lim(1?3ax?ax?a3ax?3ax?ax?2ax3axim()?lim(1?)?解：因为lx??x??x?ax?ax??)?e3a，则e3a?8，所以
17
a?ln2．
习 题 1-10
1. 证明方程xlnx?2在(1,e)内至少有一实根． 证明：令f(x)?xlnx?2，则f(x)在[1,e]上连续，又f(1)??2?0，f(e)?e?2?0,根据零点定理， f(x)?xlnx?2在开区间(1,e)内至少有一点?使f(?)?0，即xlnx?2在(1,e)内至少有一实根．
2．证明方程x5?x?1有正实根． 证明：令f(x)?x5?x?1，则f(x)在(??,??)内连续，又f(0)??1?0，f(1)?1?0， 根据零点定理，f(x)?x5?x?1在(0,1)内至少有一点?，使f(?即x5?x?1)0?，有正实根．
3．设函数f(x)对于闭区间[a,b]上的任意两点x、y，恒有
f(x)?f(y)?其中L?x，yL为正常数，且
取
证明：至少有一点??(a,b)，f(a)?f(b)?0．，使
x??x(?,a?x?0使得
0?ff(?)?0．
证明：任取
(x??x)x?(a,b，)?x?0?x，)b依题意有
?(f)x?f(x)?，L?m则ilx(fx?)?x?(f)x0?，即mil(fx?)?x，由x的
任意性，可知f(x)在(a,b)内连续，同理可证f(x)在点a右连续，点b左连续，那
么，f(x)在[a,b]上连续。而且f(a)?f(b)?0，根据零点定理，至少有一点??(a,b)，使得f(?)?0．
4．若f(x)在[a,b]上连续，则在(x1,xn)内至少有一点?，a?x1?x2???xn?b，使
f(?)?f(x1)?f(x2)???f(xn)n．
证明：因为f(x)在[a,b]上连续，所以f(x)在[a,b]上有最小值m，最大值M，使得m?f(x1)?M,m?f(x2)?M，...，m?f(xn)?M，因此
m?f(x1)?f(x2)?...?f(xn)n?M，
f(?)?f(x1)?f(x2)???f(xn)nn由介值定理得，在(x1,xn)内至少有一点?，使
５．若
.
f(x)在[a,b]上连续，xi?[a,b],ti?0(i?1,2,3,?,n)，且?tii?0?1．试证
至少
存在一点??(a,b)使得f(?)?t1f(x1)?t2f(x2)???tnf(xn)．
证明：因为f(x)在[a,b]上连续，所以f(x)在[a,b]上有最小值m，最大值M，使得m?f(x1)?M,m?f(x2)?M，...，m?f(xn)?M，那么t1m?t1f(x1)?t1M，
t2m?t2f(x2)?t2Mn，...tnm?tnf(xn)?tnM，即m?tii?1nn??ti?1if(i)?M?t，又?tii?1i?1nni?1，
故m??tif(i)?M，由介值定理可知，至少存在一点??(a,b)使得
i?1 18
f(?)?t1f(x1)?t2f(x2)???tnf(xn)．
6．证明：若f(x)在(??,??)内连续，且limx??证明：因为limx??f(x)?a??f(x)存在，则f(x)必在(??,??)内有
界．
f(x)存在，则必有X?0，使得当
f(x)x?X时，对任意的?，有
有界，即当
，因此，在区间(??,?X)及区间(X,??)上
x?(??,?X?)M1?0，有f(x)?M1，同时，f(x)在[?X,X]上连续，(X,?，存在?有由有界性定理知，存在M2?0，当x?[?X,X],f(x)?M2，取max{M1,M2}?M，
则当x?(??,??)时，总有f(x)?M，即f(x)在(??,??)内有界．
复习题A
1.设
f(x)?12?x2, g(x)?12x1?x2, 求f?g(x)?,g??f?x???及其定义域.
2解: f?g(x)??即D??1?x??x?2????1?x?x?4x?2, 其定义域为x2?4x?2?0且x?1,
?x|x??2??2且x??1?;.
?0且3-x?0,21212?xg?fx?????2??13?x1?22?x,其定义域为2?x2
D?x|x??2且x??3??.
2.求函数解: 因
f(x)?(1?x)sgnx的反函数.
2??(1?x2),?f(x)??0,?1?x2,?x?0x?0x?0, 所以,
???(x?1),??1f(x)??0,?x?1,?x??1x?0x?1
3．单项选择题
(1)下列各式中正确的是（ ） A．lim?1?x?xx?0?11???e； B．lim?1???e； ?x?0x???xx1?1???C．lim?1????e； D．lim?1??x???x??x?x???x?e．
(2)当x?0时，下列四个无穷小量中，哪一个是比其它三个更高阶的无
19
穷小（ ）．
A．x2； B．1?cosx； C．1?x2?1； D．x?tanx． (3)极限limx?1x?121x?1ex?1为（ ）
A．1； B．0； C．?； D．不存在但不为?． (4) 若当x?x0时，?(x)和?(x)都是无穷小，则当x?x0时，下列表达
式中哪一个不一定是无穷小（ ）．
A．?(x)??(x)； B．?2(x)和?2(x)； C．ln?1??(x)??(x)?； D．
?(x)?(x)2．
(5) 设
（ ）．
?x2?2x?b,x?1,?适合limf(x)?Af(x)??x?1x?1?a,x?1?，则以下结果正确的是
A．a?4,b??3,A?4； B．a?4,A?4,b可取任意实数； C．b??3,A?4,a可取任意实数； D．a,b,A都可取任意实数． 解答：
(1) A; (2) D; (3) D: (4) D; (5) C．
4.求下列极限:
3(1) limn??nsinπ3n?1sin?limn??π3πn?13π?3π;
3(1?(2) limn??1818nn?11?)?limn??18n?1????1?18?87;
22arccos((3) nlim???arccos=nlim???xx?x?x)?limarccosn???2(x?x?x)(x?x?x)x?x?x2;
x?x?x2?arccos12?π3;
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