普集高中物理必修二导学案 第二章 研究圆周运动
§2.4 圆周运动的案例分析（3）
1.进一步熟练掌握圆周运动问题的一般解法。 2.初步掌握圆周运动的分类。
3.学会运用圆周运动知识，分析解决圆周运动实际问题。
竖直面内的圆周运动：物体在竖直面内作圆周运动的情况关键在于：最高点和最低点的状态分析。依据物体在圆周最高点的受力状态可以大致分为：物体最高点无支撑力的情况（例：绳球模型）和物体最高点有支撑力的情况（例：杆球模型）
同学们通过下面的练习，体会下面在竖直面内的匀速圆周运动特点。
1. 质量为 m 的小球用长为 L 的细线连接着，使小球在竖直面内做圆周运动，求：小球恰好能够通过最高点的速度是多少？（临界条件）
变式：一细杆与水桶相连，水桶中装有水，水桶与细杆一起在竖直平面内做圆周运动，如图2所示，水的质量m＝0.5kg，水的重心到转轴的距离l＝50cm。 ⑴若在最高点水不流出来，求桶的最小速率；
⑵若在最高点水桶的速率v＝3m/s，求水对桶底的压力。
2. 已知汽车以速度 v 过桥顶 ( 底 )，桥的曲率半径为R。
试求（1）两种情况下桥对车的支持力分别是多少？ 情况一：
情况二：
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（2）实际生活中的拱形桥是哪种？为什么？
（3）在左图情况中，汽车能够顺利通过最高点的速度最大值是多少？（临界条件）
变式：一汽车通过拱形桥顶点时速度为10 m/s，车对桥顶的压力为车重的对桥面没有压力，车速至少为（ ）
A．15 m/s
B．20 m/s C．25 m/s
D．30 m/s
3，如果要使汽车在桥顶4
3. 绳子的弹力只能沿着绳子指向绳收缩的方向，而杆的弹力可指向任何方向。如图示，质量为0.2Kg的小球固定在长为0.9m的轻杆一端，杆可绕O点的水平轴在竖直平面内转动。g=10m/s2,求： （1）当球在最高点的速度为多大时，球对杆的作用力为零？
（2）当球在最高点的速度分别为6m/和1.5m/s时，球对杆的作用力和方向？ （3）小球在最高点的速度能否为零？若能，此时球对杆的作用力大小和方向？
变式：长L=0.5 m、质量可忽略的杆，其一端固定于O点，另一端连有质量m=2kg的小球，它绕O点做竖直平面内的圆周运动，当通过最高点时，如图所示，求下列情况下小球所受到的力（计算出大小，并说明是拉力还是支持力）。
（1）当v=1 m/s时，大小为 N，是 力。 （2）当v=4 m/s时，大小为 N，是 力。
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（变式）
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总结：竖直平面内物体做圆周运动过最高点的情况分析 1.没有支撑的小球：
如图1（细绳约束、外侧轨道约束下）在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况。
v2① 当mg?m，即v?v0?gR时，v0为小球恰好过最高
R点的临界速度。
v2② 当mg?m，即v?v0?gR时，（绳、轨道对小球产生
R拉力和压力），小球能过最高点。
v2③ 当mg?m，即v?v0?gR时，小球不能通过最高点，
R实际上小球还没有到达最高点就已经脱离了圆周轨道
2．有支撑的小球：
（图1）
如图2所示为在轻杆约束下竖直平面内做圆周运动的小球过最高点的情况。 ① 当v=0时，杆对球的支持力FN = mg，此为过最高点临界条件。 ② 当v?v2gR时，m?mg，FN = 0
R③ 当0?v?④ 当v?gR时，N为支持力，v增大，则FN减小。
（图2）
gR时，N为指向圆心的拉力，v增大，则FN增大。
1. 如图所示，杆长为L，球的质量为m，杆连球在竖直平面内绕轴O自由转动，已知在最高点处，杆对球的弹力大小为F=mg/2，求这时小球的瞬时速度大小？（提示：应分为两种情况）
2. 如图所示，用长为l的细绳拴着质量为m的小球在竖直平面内做圆周运动，则下列说法中正确的是( )
A．小球在圆周最高点时所受的向心力一定为重力 B．小球在最高点时绳子的拉力不可能为零
C．若小球刚好能在竖直平面内做圆周运动，则其在最高点的速率为gL D．小球过最低点时绳子的拉力一定大于小球重力
3. 如图所示，小球m在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，下列说法中正确的有 ( )
A．小球通过最高点的最小速度为v?B．小球通过最高点的最小速度为0
C．小球在水平线ab以下管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力
（第3题）
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（第2题）
Rg
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D．小球在水平线曲以上管道中运动时，内侧管壁对小球一定有作用力
4. 在半径为R的固定半球形碗内，有一质量为m的物体自碗边向碗底滑动，滑到最低点时速度为v，若物体与碗的动摩擦因数为μ，则物体在最低点受到的摩擦力大小是：（ ）
A.?mg
v2?) B.?m(g Rv2?) C.?m(g Rv2 D.?m
R5. 质量为m的小球在竖直平面内的圆形轨道内侧运动，若经最高点不脱离轨道的临界速度为v，则当小球以2v速度经过最高点时，小球对轨道压力的大小为 (
A．0
B．mg
C．3mg
)
D．5mg
6. 如图所示，小物体位于半径为R的半球顶端，若给小物体以水平初速度v0时，小物体对球顶恰无压力，则 ( )
A．物体立即离开球面做平抛运动 B．物体落地时水平位移为2R
7. 如图所示，用一本书托着黑板擦在竖直面内做匀速圆周运动，先后经过A、B、C．物体的初速度v0?角 gR D．物体着地时速度方向与地面成45°
（第6题）
B A
C、D四点，A、C和B、D处于过圆心的水平线和竖直线上，设书受到的压力为N，
C 对黑板擦的静摩擦力为f，则：（ ） A．从C到D，f减小，N增大 B．从D到A，f减小，N增大 C．在A、C两个位置，f最大，N=mg D．在B、D两个位置，N有最大值
D
8. 如图所示，质量为m的物体随水平传送带一起匀速运动,A为传送带的终端皮带轮，皮带轮半径为r，要使物体通过终端时，能水平抛出，皮带轮的转速至少为：（ ） A.
12?grgg B. C.gr D. rr2?
0（拓展）9. 如图所示，在倾角α=30的光滑斜面上，有一根长 L=0.8m的细绳。一端固定在O点，另一端系一质量m=0.2kg的 小球，沿斜面作圆周运动.试计算: ①小球通过最高点A的最小速度.
②若绳的抗拉力为Fmax =10N， 小球在最低点B的最大速度是多少？
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普集高中物理必修二导学案 第二章 研究圆周运动
§2.4 圆周运动的案例分析（4）
1.学会识别圆周运动中的临界状态。
2.掌握水平面内和竖直面内圆周运动中临界问题的一般解题方法。
一．圆周运动中临界问题分析，应首先考虑达到临界条件时物体所处的状态，然后分析该状态下物体的受力特点，结合圆周运动的知识，列出相应的动力学方程。
例：如图所示，在光滑的圆锥顶用长为L的细线悬挂一质量为m的小球，圆锥体固定在水平面上不动，其轴线沿竖直方向，母线与轴线之间的夹角为300，物体以速率v绕圆锥体轴线做水平圆周运动。求：
⑴ 当v1?⑵ 当v2?
gL时，求线对物体的拉力； 63gL 时，求线对物体的拉力。 2300 （例） 变式思考：用一根细线一端系一小球（可视为质点），另一端固定在一光滑锥顶上，如图（1）所示，设小球在水平面内作匀速圆周运动的角速度为ω，线的张力为T，则T随ω2变化的图象是图（2）中的（ ）
（图2）
（图1）
二．求解范围类极值（临界）问题，应注意分析两个极端状态，以确定变化范围
例：如图，直杆上O1O2两点间距为L，细线O1A长为3L，O2A长为L，A端小球质量为m，要使两根细线均被拉直，杆应以多大的角速度ω转动？
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