中北大学2011届毕业设计说明书
2 最优控制的基本概念
2.1 最优控制基本思想
设系统状态方程为
x(t)?f[x(t）,u(t）,t],x(t0)?x0 （2-1） 式中，是p维控制向量；n维向量函数f[x(t）x(t)是n维状态向量；u(t）,u(t）,t]是x(t）,u(t）与t的连续函数，且对x(t）与t连续可微；u(t）在[t0,tf]上分段连续。所谓最优控制问题，就是要求寻找最优控制函数，使得系统状态x(t）从以知初态x0转移到要求的终端状态x(tf)，在满足如下约束条件下： （1）控制与状态的不等式约束
g[x(t),u(t),t]?0 （2-2） （2）终端状态的等式约束
M[x(tf),tf]?0 （2-3） 使性能指标
tf J??[x(tf),tf]??F[x(t),u(t),t]dt （2-4）
t0达到极值。式中g[x(t),u(t),t]是
m?p;M[x(tf),tf]是q维连续可微的向量函数m维连续可微的向量函数，
的连续可
，q?n;?[x(t),u(t),t]都是x(t)与t微纯量函数。
2.2 最优控制的性能指标
自动控制的性能指标是衡量系统性能好坏的尺度，其内容与形式取决于最优控制问题所要完成的任务，不同的控制问题应取不同的性能指标，其基本类型如下。 2.2.1 积分型性能指标
tf J?t0F[x(t),u(t),t]dt
（2-5）
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表示整个控制过程中，系统的状态x(t）与施加给系统的控制作用u(t)应当达到某些要求。例如：
（1）最小时间控制
当选取 F[x(t),u(t),t]? 则
tf J??dt?tf?t0 （2-6）
t0这种控制要求设计一个快速控制规律，使系统在最短时间内从以知的初态x(t0)转移到要求的末态x(tf)。例如，导弹拦截器的轨道转移就是属于此类问题。
（2）最小燃料消耗控制
m当选取 F[x(t),u(t),t]?则
tfm?j?1uj(t)
J?t0j?1??uj(t)dt （2-7）
是航天工程中常遇到的重要问题之一。例如，宇宙飞船这种航天器具所携带的燃料有限，希望在轨道转移时，所消耗的燃料尽可能的少，就是属于此类问题。 （3）最小能量控制
当选取 F[x(t),u(t),t]?uT(t)u(t) 则
tf J??uT(t)u(t)dt （2-8）
t0 对于一个能量有限的物理系统，例如，通信卫星的太阳能电池，为了使系统在有限的能源条件下载尽可能长的时间内保证正常工作，需要对控制过程中的能量消耗进行约束，就是属于此类问题。
（4）无线时间线性调节器 取tf??，且
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F(x,u,t)?其中，Q?0,R?0,均为加权矩阵，则
J?1?TT(t)Qx(t)?u(t)Ru(t)]dt （2-9）
12[x(t)Qx(t)?u(t)Ru(t)]
TT?[x2t0 （5）无限时间线性跟踪器 取tf??，且
F(x,u,t)?{[y(t)?z(t)]TQ[y(t)?z(t)?uT(t)Ru(t)]}
J?（2-10）
其中，y(t)为系统输出向量，z(t)为系统希望输出向量。
在性能指标式（2-8）、式（2-9）、式（2-10）中，被积函数都是由x(t)、y(t)?z(t)或u(t)的平方项所组成，这种形式的性能指标叫做二次型性能指标。 2.2.2 末值型性能指标
J??[x(tf),tf] （2-11） 表示系统在控制过程结束后，要求系统的终端状态x(tf)应达到某些要求，在实际工程中，例如要求导弹的脱靶量最小、机床工作台移动准确停止等。终端时刻tf可以固定，也可以自由，视最优控制问题的性质而定。 复合型性能指标
tf1?TTQ[y(t)?z(t)]?u(t)Ru(t)}dt
?{[y(t)?z(t)]2t0 J??[x(tf),tf]??F[x(t),u(t),t]dt （2-12）
t0表示对整个控制过程及控制过程结束后的终端状态均有要求，是最一般的性能指标形式。
2.3 最优控制问题的求解方法 1. 解析法
当性能指标与约束条件为显示解析表达式时，适合用解析法。通常是用求导方法或
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变分方法解出最优控制的必要条件，从而得到一组方程式或不等式，然后求解这组方程或不等式，最后得到最优控制的解析解。 2. 数值计算法
当性能指标比较复杂或不能用变量的显函数表示时，可以采用试探法，即直接搜索 逐步逼近，经过若干次迭代，逐步逼近到最优点。 3．梯度型法
这是一种解析与数值计算相结合的方法。
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3 最连续系统最优控制的MATLAB实现
3.1连续系统线性二次型最优控制 设线性连续定常系统的状态方程为：
x(t)?Ax(t)?Bu(t),x(0)?x0 （3-1） 式中，x(t)为n维状态向量；u(t)为p维控制向量，且不受约束；A为n?n维常数矩阵，
B为n?p维常数矩阵。
?.系统的性能指标为： J?1??20xQx?uRudtTT （3-2）
式中，终端时间无限；Q为维数适当的常数矩阵（常取n?n维常数矩阵）；R为维数适当的常数矩阵，R?0,R?RT。若下列条件之一满足：
（1）Q?0,Q?QT,阵对[A,B]完全可控； （2）Q?0,Q?QT,阵对[A,B]完全可控，阵对矩阵。
则有最优反馈矩阵：
K?R?1BTP (3-3) 与唯一的最优控制：
u*(t)??Kx(t)??R?1BTPx(t) （3-4） 以及最优性能指标：
J*?12x(0)Px(0)[A,D]完全可观，DDT?Q,D为任意
（3-5）
式中，P为常值正定矩阵，它是以下黎卡提代数方程的唯一解： PA?ATP?PBR闭环系统：
x(t)?(A?BR?1BTP)x(t),x(0)?x0 （3-7）
??1BP?Q?0T (3-6)
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