中北大学2011届毕业设计说明书
点击界面按钮“系统估计误差协方差P”按钮，则显示出系统估计误差协方差，如图5.5
图5.5 系统估计误差协方差
点击界面按钮“Kanman最优滤波器”按钮，列表框中显示出最优滤波器的矩阵，由上到下分别是a,b,c,d。分别如图5.6，5.7,5.8,5.9所示。
图5.6 Kanman最优滤波器之矩阵a
第28页 共39页
中北大学2011届毕业设计说明书
图5.7 Kanman最优滤波器之矩阵b
图5.8 Kanman最优滤波器之矩阵c
第29页 共39页
中北大学2011届毕业设计说明书
图5.9 Kanman最优滤波器之矩阵d
系统的Kalman（最优）滤波器（a，b，c，d）。计算表明，用函数kalman??计算的Kalman滤波器的状态估计器Kest与用函数estim??求出的Kalman滤波器est，两者是相等的。
第30页 共39页
中北大学2011届毕业设计说明书
6 线性二次型Guass最优控制的MATLAB实现
考虑系统随机输入噪声与随机量测噪声的线性二次型最优控制称为线性二次型高斯（Guass）最优控制，即LQG控制。线性二次型高斯最优控制是输出反馈控制。这种即及系统受到随机因素的作用而采取的控制策略，对解决线性二次型最优控制问题，显然更具有实用性。 6.1 LQG最优控制的求解
给定系统的状态方程与量测方程分别为：
??t??Ax?t??Bu?t??Gw?t? （6-1） x y?t??Cx?t??Du?t??v?t? （6-2） 式中，参量x?t?、u?t?、y?t?、A、B、G、C、D含义同前，假定w?t?为随机噪声干扰输入，它是零均值的p维白噪声过程；假定v?t?为随机量测噪声，是零均值的q维白噪声过程。w?t?与v?t?两个噪声过程均平稳且互不相关。系统的性能指标为：
??T?T?dt?J?E???xQx?uRu???0? （6-3）
根据LQG问题的分离原理，LQG最优控制是两个方面问题的综合：一是二次型调节器问题。二是最优估计器问题。
(1)LQ最优控制就是二次型调节器问题。最优状态反馈控制有最优反馈矩阵 式（6-4）：
K?R?1BTP （6-4） 最优控制为式（6-5）：
u*?t???Kx?t???R?1BTPx?t? （6-5）
以及P满足的Riccati方程式（6-6）：
PA?AP?PBRBP?Q?0 （6-6）
??t?，使估计误差平方和的期 利用Kalman滤波理论，从状态x?t?中得到最优估计xT?1T望值最小（最小方差迹准则滤波估计），即有式（6-7）：
第31页 共39页
中北大学2011届毕业设计说明书
?T??J?E??x?t?x?t???min （6-7）
这种最优估计器为式（6-8）：
????A?LC?x??t??Bu?t??Ly?t? （6-8） x上式中，L为Kalman滤波器增益，即式（6-9）：
L?P0CR0T?1 （6-9）
其中P0为以下Riccati方程式（6-10）的解：
AP0?P0A?GQ0GTT?P0CR0CP0?0T?1 （6-10）
分别计算LQ最优控制与最优估计，再将这两问题的解合在一起，就得到LQG控制的最优解。
6.2 LQG最优控制的MATLAB实现与示例
在MATLAB工具箱里，有特别提供的函数reg??来求解LQG最优控制。函数的调用格式为：
rsys?reg?sys,K,L?
其中，输入参量sys为系统的状态空间模型；K为由函数lqr??求得的最优状态反馈增益矩阵；L为函数lqe??求得的Kalman滤波器状态估计增益矩阵。 例【6-1】：已知系统的状态方程如下：
??0.4???x1???1.4009.8?0.01??0x???0.02???6.3??1?????0u?0w （6-11） ???????9.8???0?? y??001?x?v 二次型调节器性能指标为
J??0?x?TQx?uRu?dtT （6-12）
式中
第32页 共39页